Potenza elettrica in corrente alternata sinusoidale

La potenza in corrente alternata sinusoidale

Discipline: ELETTROTECNICA

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Sintesi. Come viene definita la potenza elettrica nei sistemi in corrente alternata sinusoidale. Si affrontano e si analizzano, anche con la dimostrazione analitica, gli importanti concetti di potenza attiva, reattiva,apparente e di fattore di potenza. La potenza complessa e il teorema di Boucherot.

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1.1 - Definizione di potenza

Chiamiamo potenza la rapidità con cui un qualsiasi dispositivo è in grado di produrre o utilizzare l'energia, sotto forma di lavoro, e cioè P = ΔL / Δt, dove ΔL, misurato in joule, è la quantità di lavoro compiuto o assorbito nell'intervallo di tempo Δt secondi. L'unità di misura della potenza è quindi [ J] / [s] = [W], watt.

1.2 - Potenza elettrica in corrente continua e alternata

In corrente continua la potenza è data semplicemente dall'espressione P = V·I [ W ].
V e I sono costanti nel tempo e, di conseguenza, anche P è una grandezza costante nel tempo.
In corrente alternata bisogna tener conto del fatto che tensione e corrente dipendono dal tempo secondo opportune leggi:

v(t) = V_M·sen(ωt+α)
i(t) = I_M·sen(ωt+β)

che sono funzioni sinusoidali del tempo.

Con i cursori , figura a sinistra, modifica i parametri delle sinusoidi e osservane il comportamento.
Ricorda che le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate da una particolare categoria di vettori: i vettori rotanti attorno ad un punto di origine.
Tutti i vettori hanno la stessa velocità angolare ω = 2πf = 2π/T e si distinguono per la loro ampiezza e fase.
Nei diagrammi vettoriali, di solito, non si rappresentano gli assi . L'asse di riferimento per gli angoli è l'asse reale ( asse orizzontale, ascissa). La proiezione sull'asse immaginario (asse verticale, ordinata) del vettore fornisce il valore istantaneo della grandezza. rappresentata.
L'argomento delle funzioni trigonometriche è un angolo espresso in radianti e quindi gli angoli di fase α e β vanno espressi in tale unità di misura. Per passare da gradi a radianti si può usare la relazione α [rad] = α° · π/180.

Potremo comunque ancora definire una potenza istantanea come prodotto:

p(t) = v(t)·i(t)

che, come si vede, è ancora rappresentato da una sinusoide, però con frequenza doppia rispetto a quella di tensione e corrente.
In relazione al tipo di carico (ohmico, induttivo, capacitivo, ecc), tensione e corrente presenteranno rapporti di fase diversi, fatto che avrà importanti ripercussioni sulla potenza.

Nota, infatti, come si modifica la curva della potenza istantanea variando con i cursori i parametri ampiezza (V_M, I_M) e fase (α, β) di tensione e corrente.

Per un carico puramente ohmico (solo resistenza) osserviamo che le curve di tensione e corrente sono in fase: zeri, massimi e minimi si corrispondono. In questo caso la potenza istantanea è una sinusoide di frequenza doppia e tutta positiva.
Se il carico è puramente induttivo (solo induttore) la corrente è in quadratura in ritardo rispetto alla tensione. La potenza istantanea è sempre una sinusoide di frequenza doppia, ma alternativamente positiva e negativa.
Con carico puramente capacitivo (solo condensatore), la corrente è in quadratura in anticipo sulla tensione, e la potenza istantanea ha un andamento simile a quello del caso precedente, ma opposto.
Due sinusoidi sono in quadratura quando sono spostate di π/2 (90°) l'una rispetto all'altra. Ciò fa sì che agli zeri dell'una corrispondano i massimi (minimi) dell'altra.

1.3 - Potenza ed energia

Osserviamo ancora la curva della potenza. Abbiamo detto che P = ΔL/Δt e quindi anche ΔL = P·Δt.
Un intervallo di tempo Δt individua un'area rettangolare sotto la sinusoide, con base ωΔt e altezza pari al valore della potenza istantanea P. Quest'area, P·ωΔt, non è altro che l'energia P·Δt o il lavoro scambiati nell'intervallo di tempo Δt, moltiplicata per la pulsazione ω ( le sinusoidi sono rappresentate in funzione dell'angolo ωt )

Ora puoi aumentare il numero di intervalli, diminuendo la durata di Δt :
Sommando gli intervalli fino a coprire tutto il periodo (considerando Δt molto piccolo) si ottiene l' area della superficie delimitata dall'asse delle ascisse ωt e dalla sinusoide.
Essa, una volta divisa per ω, corrisponde alla quantità di energia scambiata (prodotta, utilizzata) in un periodo T.

1.4 - Potenza attiva

Abbiamo visto che l' area sotto la curva p(t) della potenza istantanea, corrisponde all'energia che, ad esempio, viene trasferita dal generatore all'utilizzatore. La potenza media è quel valore di P, costante nel tempo, che trasferisce la stessa quantità di energia (area del rettangolo : ω) della potenza istantanea.
Si nota che il valore medio della potenza diminuisce all'aumentare dello sfasamento tra tensione e corrente. Cioè la potenza media, e quindi l'energia trasferita, passa da una valore massimo, quando V e I sono in fase, al valore zero con le grandezze in quadratura.

Puoi inserire alcuni valori, in gradi, per gli angoli α e β, fasi di tensione e corrente ed osservare quali e come variano le grandezze in gioco.

Potresti, ad esempio, verificare che il tipo di carico determina solamente l'angolo tra V ed I . Poni β=60°. Se α=30° , di che tipo di carico si tratta? Prova con altre coppie di valori.
Prima di proseguire, inserisci i valori opportuni per avere V con fase 0° ed un carico puramente ohmico.

Con corrente e tensione in fase è facile valutare la potenza media P_m, perchè il rettangolo che presenta la stessa area limitata dalla
sinusoide (e quindi la stessa energia) ha un'altezza pari alla metà del valore massimo della potenza P_m = (V_M·I_M) / 2.
Ricordando che i valori efficaci (RMS) di tensione e corrente sono definiti come
V = V_M / 2^½ e I = I_M / 2^½ (l'esponente ½ sta per "radice quadrata di..."), si può dire che la potenza attiva è data da: P = P_m = V·I [W].
Abbiamo analizzato il caso con corrente e tensione in fase, ma lo sfasamento tra queste due grandezze può avere un valore qualsiasi compreso tra -90° e +90°.

In generale la potenza attiva è data da :

P = V·I·cos(φ)

espressione per la quale esiste una semplice dimostrazione analitica basata su noti teoremi di trigonometria.
Il termine cos(φ) è detto fattore di potenza, spesso indicato con fdp, cosφ o anche cosfì.
Il fattore di potenza ha valori compresi tra 0 e 1, se l'angolo varia tra -90° e + 90° ed è quindi sempre positivo. Pertanto dal valore numerico del fdp non si può dedurre il tipo di carico, salvo il caso di cos(φ) = 1 (corrente e tensione in fase). Dovremo allora precisare il tipo di carico aggiungendo rit per corrente in ritardo sulla tensione, ant per corrente in anticipo sulla tensione.

Attribuisci dei valori a cos(φ) e osserva l'effetto su V e I , sulla P(t) e sulla P media .

Il fattore di potenza quindi rappresenta il rapporto tra l' effettiva Potenza P che si ottiene dal sistema e la massima potenza che si potrebbe ottenere con V e I in fase, chiamiamola S = V·I (detta anche potenza apparente). Quindi cos(φ) = P / S.
Ad esempio, cos(φ) = 0.8 significa che si può ottenere una potenza attiva pari all'80% della Potenza apparente.

.
1.5 - Potenza reattiva

Imposta ora il valore di cos(φ) per avere un carico ohmnico-induttivo che provochi uno sfasamento in ritardo della corrente sulla tensione ad esempio di 60°, dopo aver assegnato per la tensione V una fase di 0° .

Osserviamo la sinusoide della potenza: per alcuni tratti essa è negativa.
Se ora rappresentiamo anche tensione e corrente sullo stesso grafico, possiamo notare che:

la potenza è negativa quando tensione e corrente hanno segni (versi) discordi
la potenza media è diminuita rispetto al caso con V e I in fase
il valore della potenza media è pari a V·I·cos(φ)

L' energia attiva è la quota utilizzabile per compiere un lavoro, ad esempio mediante un motore elettrico o che viene dissipata in calore se l'utilizzatore è una semplice resistenza (effetto Joule). Si può facilmente notare che l'area che corrisponde all'energia utile coincide con quella del rettangolo che ha per altezza la potenza media. Osservando attentamente la figura, riusciremo probabilmente a notare che la potenza media è diminuita proprio della quantità rappresentata dall'area negativa.
Questo significa che esiste una parte dell'energia che, durante alcuni intervalli di tempo è diretta dal generatore (G) verso l'utilizzatore (area positiva), durante altri, dall'utilizzatore (U) al generatore (area negativa).
La quota di potenza che consente questo scambio bidirezionale di energia si dice potenza reattiva.
La potenza reattiva non può essere utilizzata per compiere un Lavoro, in quanto, come si vede, l'energia positiva (G --> U) è esattamente uguale all'energia negativa (U --> G) e quindi il valor medio sul periodo sarà nullo.
Questa energia è funzionale ai sistemi e serve a costruire i campi magnetici o elettrici necessari per il funzionamento dei dispositivi stessi.
La potenza reattiva è misurata in VAR, volt-ampére reattivi.
La questione può essere ancor meglio compresa nei casi di carichi puramente induttivi o puramente capacitivi.

a - carico puramente induttivo
Durante il primo quarto di periodo la corrente è negativa (U --> G) e passa dal valore massimo a zero: in questa fase il campo magnetico dell'induttore sta diminuendo fino a raggiungere il valore zero. L'energia accumulata dal campo viene restituita al generatore (potenza negativa).
Nel quarto di periodo successivo, la corrente cresce fino al valore massimo, la potenza è positiva, l'energia è diretta verso l'utilizzatore (G --> U) e serve a costruire il campo magnetico dell'induttore. Nei quarti successivi le vicende si ripetono a ruoli invertiti.

b - carico puramente capacitivo
Nel primo quarto di periodo il condensatore si carica (la corrente passa dal valore massimo a zero) e quindi si deve formare il campo elettrico tra le armature. Infatti l'energia e la potenza sono positive (G --> U). Nel quarto successivo, invece, il condensatore si scarica, il campo elettrico progressivamente si annulla e la sua energia deve essere restituita al generatore. Potenza ed energia sono quindi negative (U --> G). Anche qui, nei quarti successivi le vicende si ripetono a polarità invertite.

Per la potenza reattiva non si può utilizzare il valore medio sul periodo, come si è fatto per la potenza attiva, poichè esso è nullo.
Si definisce allora la potenza reattiva come:

Q = V·I·sen(φ)

(puoi vedere la dimostrazione per approfondire)
La potenza reattiva ha un segno: essa è considerata positiva per carichi induttivi o ohmico-induttivi, negativa per carichi capacitivi o ohmico-capacitivi.

1.6 - Potenza apparente e triangolo delle potenze

La potenza apparente non ha un vero e proprio significato fisico.
Essa è definita come prodotto di V e I:

S = V·I

viene misurata in volt-ampére [VA] ed è interessante per le relazioni matematiche che si possono costruire:

Agendo sui cursori della lavagna interattiva , osserva come varia il triangolo delle potenze. Poni particolare attenzione all'aspetto del triangolo nelle varie situazioni che puoi simulare: carico puramente resistivo, resistivo-induttivo, ecc.

Se immaginiamo un triangolo che abbia S come ipotenusa, dalle relazioni precedenti si vede che P e Q ne rappresentano i cateti . Tale triangolo viene anche detto triangolo delle potenze.

Di fatto si può pensare alla potenza apparente S come alla massima potenza generabile o utilizzabile in relazione al tipo di carico.

1.7 - Additività delle potenze: teorema di Boucherot

Vale per le potenze questo importante teorema che discende da principi generali come quello della conservazione dell'energia:

La potenza complessa globalmente assorbita dalle impedenze di una rete è uguale alla somma delle singole potenze complesse assorbite da ciascuna impedenza:

S = S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n ⁽¹⁾
Questo si traduce in alcune semplici regole di calcolo applicabili a qualsiasi rete in c.a.:

in una rete elettrica le potenze attive si sommano tra loro:

P = P₁ + P₂ + P₃ + ... + P_n

in una rete elettrica le potenze reattive si sommano algebricamente tra loro:

Q = ± Q₁ ± Q₂ ± Q₃ ± ... ± Q_n
Il segno dipende dal tipo di carico ( +: induttivo, -: capacitivo).

2 - Approfondimenti e ricerche, libri

Qualche parola chiave per la ricerca:

"Potenza elettrica", "Electric power", "Fattore di potenza", "Power factor", "Rifasamento", "Power factor correction", "Active power", "Reactive power""; "Apparent power", "Misura della potenza elettrica", "Electric power measurement".

Rev. 5/12/2010