Domande e risposte
Le domande, con la lavagna già pronta
Le domande più cercate su corrente alternata, potenza, rifasamento e numeri complessi. Per ognuna una risposta breve e il link che apre la lezione con la lavagna interattiva già impostata: si legge, si prova, si capisce.
Corrente alternata 1 — Fasori e grandezze sinusoidali: cosa sono, valore efficace, sfasamento
Un fasore è il vettore fisso che rappresenta lo stato iniziale (t = 0) del vettore rotante con velocità angolare ω, la cui proiezione disegna, istante per istante, la sinusoide. Il modulo coincide con il valore efficace della grandezza e l'angolo con l'asse reale è la fase.
Una grandezza sinusoidale si scrive v(t) = VM sin(ωt + φ), con pulsazione ω = 2πf = 2π/T, ampiezza VM e fase φ. Il valore efficace è V = VM/√2.
Un vettore lungo VM che ruota a velocità costante ω ha, sull'asse verticale, la proiezione VM sin(ωt + φ): seguendone la punta nel tempo si ottiene proprio la sinusoide.
Il valore efficace è quello della tensione continua che su un resistore dissiperebbe la stessa potenza: è la radice della media del quadrato. Per una sinusoide la media di sin² vale 1/2, quindi V = VM/√2 ≈ 0,707 VM.
Su un periodo intero è zero, perché le semionde positiva e negativa si compensano. Su mezzo periodo vale 2VM/π ≈ 0,637 VM.
È l'angolo φ che il vettore rotante forma con l'asse di riferimento all'istante t = 0: nella formula v(t) = VM sin(ωt + φ) stabilisce da quale punto del suo ciclo parte la sinusoide. Si misura in radianti o in gradi.
Si rappresenta ogni sinusoide con un numero complesso: somme e derivate di sinusoidi diventano somme e prodotti di numeri complessi, e i circuiti in alternata si risolvono con l'algebra, come quelli in continua.
Corrente alternata 2 — Impedenza e circuito RLC serie: reattanza, triangolo delle impedenze, risonanza
È il rapporto tra i fasori di tensione e corrente, Ż = V̇/İ = R + jX: la parte reale è la resistenza, quella immaginaria la reattanza. Il modulo |Z| dà il rapporto tra i valori efficaci, l'argomento φ lo sfasamento.
Che le due sinusoidi hanno la stessa frequenza ma raggiungono il massimo in istanti diversi. Nel diagramma fasoriale i due vettori formano un angolo φ, lo sfasamento: in un induttore ideale, per esempio, la corrente è in ritardo di 90°.
Perché la tensione ai capi dell'induttore è proporzionale alla rapidità di variazione della corrente, v = L di/dt: è massima quando la corrente passa per lo zero, un quarto di periodo prima che la corrente raggiunga il suo massimo.
Perché la corrente è proporzionale alla rapidità di variazione della tensione, i = C dv/dt: è massima quando la tensione passa per lo zero, un quarto di periodo prima che la tensione raggiunga il suo massimo.
XL = ωL: più rapida è la variazione della corrente, maggiore è la tensione che l'induttore oppone. XC = 1/(ωC): a frequenza più alta il condensatore si carica e si scarica più spesso e lascia passare più corrente.
È il triangolo rettangolo con cateti R e X e ipotenusa |Z| = √(R² + X²). L'angolo tra R e Z è lo sfasamento φ tra tensione e corrente, con cos φ = R/|Z|.
Alla frequenza f0 = 1/(2π√(LC)) le reattanze induttiva e capacitiva si compensano: l'impedenza è minima e uguale a R, la corrente è massima e in fase con la tensione, e su L e C possono comparire tensioni molto più alte di quella applicata.
Corrente alternata 3 — Ammettenza, suscettanza e circuito RLC parallelo: risonanza di corrente
È l'inverso dell'impedenza, Ẏ = 1/Ż = G + jB, e si misura in siemens. Nei collegamenti in parallelo le ammettenze si sommano direttamente, come le impedenze in serie: per questo i calcoli diventano più semplici.
Sono la parte reale (G) e la parte immaginaria (B) dell'ammettenza. La suscettanza di un induttore vale in modulo 1/(ωL), quella di un condensatore ωC, e hanno segno opposto.
La tensione è la stessa per tutti i rami; le correnti dei rami sono sfasate fra loro e si sommano come vettori (fasori), non come numeri: la corrente totale è l'ipotenusa del triangolo delle correnti.
Alla frequenza f0 = 1/(2π√(LC)) le correnti in L e in C sono uguali e opposte e si compensano: la corrente di linea è minima e in fase con la tensione, mentre tra induttore e condensatore circola una corrente che può essere molto più grande.
Potenza elettrica — Potenza attiva, reattiva e apparente: formule e triangolo delle potenze
La potenza attiva P = V I cos φ (watt) è quella parte che può essere trasformata in lavoro o calore; la reattiva Q = V I sin φ (var) è la quota di potenza necessaria alla formazione dei campi elettrici e magnetici dei componenti (induttori, condensatori, motori, ecc.) e viene continuamente scambiata tra essi e i generatori; la potenza apparente S = V I (VA) ha un ruolo nel dimensionamento di linee e macchine elettriche.
È il valor medio della potenza istantanea: il prodotto di due sinusoidi sfasate di φ contiene un termine costante, V I cos φ, e un termine che oscilla a frequenza doppia con media nulla.
p(t) = v(t)·i(t) è negativa quando tensione e corrente hanno segno opposto: in quegli istanti il carico restituisce al generatore l'energia accumulata nei campi magnetici ed elettrici.
Con uno sfasamento di 90° la potenza istantanea oscilla simmetricamente intorno allo zero: l'energia assorbita in un quarto di periodo viene restituita nel successivo. La media è nulla (P = 0) e resta solo la potenza reattiva.
È il triangolo rettangolo con cateti P e Q e ipotenusa S = √(P² + Q²). L'angolo tra P e S è lo sfasamento φ, e il fattore di potenza è cos φ = P/S.
In un circuito la potenza attiva totale è la somma delle potenze attive dei singoli carichi, e la potenza reattiva totale è la somma algebrica delle reattive (induttive positive, capacitive negative). Le potenze apparenti, invece, non si sommano.
Rifasamento — Rifasamento trifase e monofase: calcolo dei condensatori e vantaggi
Per ridurre la potenza reattiva che i carichi induttivi (motori, trasformatori) chiedono alla rete. A parità di potenza attiva diminuisce la corrente di linea, e con essa le perdite, le cadute di tensione e le penali in bolletta per basso cos φ.
La potenza reattiva da compensare è QC = P (tan φ1 − tan φ2), dove φ1 e φ2 sono gli sfasamenti prima e dopo il rifasamento. In monofase la capacità è C = QC / (ω V²).
Il rifasamento accorcia il cateto Q: la potenza attiva P resta la stessa, mentre la potenza apparente S e l'angolo φ diminuiscono e il fattore di potenza cos φ = P/S aumenta.
La potenza reattiva da compensare è la stessa, ma nel collegamento a triangolo ogni condensatore lavora alla tensione concatenata, √3 volte quella di fase: la capacità necessaria è un terzo di quella a stella (CΔ = CY/3).
È l'aumento della tensione all'arrivo di una linea quando il carico è fortemente capacitivo, per esempio con un rifasamento eccessivo o con una linea lunga quasi a vuoto. Per questo i condensatori vanno dimensionati con misura e disinseriti quando il carico cala.
Numeri complessi 1 — Numeri complessi: coniugato, modulo e fase, prodotto, divisione, forma polare
È un numero della forma ż = a + ib, con a e b reali e i unità immaginaria (i² = −1). a è la parte reale, b la parte immaginaria; nel piano di Argand-Gauss ż è il punto di coordinate (a, b).
Il coniugato di ż = a + ib è ż* = a − ib: nel piano è il simmetrico rispetto all'asse reale. Il prodotto ż·ż* = a² + b² è reale e uguale al quadrato del modulo, ed è l'artificio che si usa per dividere.
Il modulo è |ż| = √(a² + b²), la distanza dall'origine; la fase è l'angolo con il semiasse reale positivo. Attenzione ai quadranti: con a < 0 l'arcotangente di b/a va corretta di ±180°, e nel III e IV quadrante l'angolo è negativo.
È la scrittura ż = r (cos α + i sin α), con r = |ż| modulo e α argomento: la parte reale è r cos α, quella immaginaria r sin α, cioè le proiezioni del vettore sugli assi. Da qui si passa alla forma polare r∠α.
In forma algebrica (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). In forma polare è più semplice: i moduli si moltiplicano e gli angoli si sommano, cioè il prodotto ruota e allunga il vettore.
Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, che così diventa reale. In forma polare i moduli si dividono e gli angoli si sottraggono.
1/ż = ż*/|ż|²: si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato. Per ż = a + ib vale 1/ż = (a − ib)/(a² + b²); in forma polare il modulo diventa 1/|ż| e l'angolo cambia segno.
Perché i = 1∠90°: moltiplicare per i lascia invariato il modulo e aggiunge 90° all'angolo. Due rotazioni di 90° fanno 180°, cioè un cambio di segno: ecco perché i² = −1.
Tutte le n radici hanno lo stesso modulo, la radice n-sima di |ż|, e angoli che differiscono di 360°/n: sono i vertici di un poligono regolare inscritto in quella circonferenza.
Sono gli n numeri complessi che elevati alla n danno 1: hanno modulo 1 e angoli 0, 360°/n, 2·360°/n, … Stanno sulla circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con un vertice in 1.
Numeri complessi 2 — Formula di Eulero e forma esponenziale dei numeri complessi, logaritmo complesso
eiα = cos α + i sin α: l'esponenziale con esponente immaginario è il numero di modulo 1 e angolo α. Si ottiene come limite di (1 + iα/n)n per n → ∞, che la lavagna costruisce passo per passo.
Basta porre α = π nella formula di Eulero: cos π + i sin π = −1. Ruotare il numero 1 di mezzo giro intorno all'origine porta in −1.
Sommando e sottraendo eiα = cos α + i sin α ed e−iα = cos α − i sin α si ottiene cos α = (eiα + e−iα)/2 e sin α = (eiα − e−iα)/(2i).
ż = r eiα, con r modulo e α argomento. Con questa scrittura moltiplicazioni, divisioni e potenze si fanno sugli esponenti: r1eiα · r2eiβ = r1r2 ei(α+β).
(cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα (formula di De Moivre): il modulo resta 1 e l'angolo si moltiplica per n, quindi le potenze girano sulla circonferenza unitaria.
Derivando si ottiene −sin x + i cos x = i (cos x + i sin x): il vettore velocità è sempre perpendicolare al raggio. È la stessa proprietà dell'esponenziale eix, e porta alla formula di Eulero.
ln ż = ln|ż| + i(α + 2kπ): la parte reale è il logaritmo del modulo, quella immaginaria è l'argomento, definito a meno di multipli di 2π. Per esempio ln(−1) = iπ (valore principale).