I numeri complessi    




DEFINIZIONI E OPERAZIONI FONDAMENTALI

Sintesi: Definizioni e proprietà di una importante categoria di numeri inizialmente introdotta per risolvere il problema dell'estrazione di radici quadrate di numeri negativi e rivelatasi uno strumento matematico potentissimo per la descrizione dei fenomeni fisici e lo sviluppo stesso della matematica.

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1.1.0 - Introduzione e cenni storici

La prima fugace comparsa dei numeri complessi  avviene nella prima metà del XVI secolo, in Italia. Gerolamo Cardano (1501-1576), poliedrico medico e matematico, trattando del metodo della falsa posizione, propone questo problema, manifestamente impossibile ( Ars Magna o Artis Magnae, 1545 ):

"Dividi 10 in due parti che moltiplicate tra loro diano 40 ".

Che possiamo anche enunciare così:

trovare due numeri x e y, tali che   x + y = 10  e  x·y = 40.

Seguiamo per un momento il ragionamento di Cardano.
Immaginiamo che il segmento ab sia lungo 10 (non importa l'unità di misura).  Il quadruplo di ab, che potremmo rappresentare con il rettangolo tratteggiato, vale 40.
Il punto c divide ab in due parti x e y, il cui prodotto deve dare 40. Inizialmente (falsa posizione) Cardano fa coincidere c con il punto medio di ab e quindi x = y = x₀ = 5. L'area del rettangolo ad (così lo identifica), che in questo caso è un quadrato, è pari a  xy = x_0² = 25, ovviamente diverso da 40.
La soluzione, se esiste, si può ottenere solo spostando c (prova sulla figura) di una quantità r dalla posizione iniziale, ma è chiaro che se, ad esempio,  x diminuisce di r, allora y dovrà aumentare della stessa quantità, cioè se  x = x₀ − r allora  y = x₀ + r.  Questo  perchè la somma x +y deve essere uguale alla lunghezza di ab (10).
Se x = x₀ − r e y = x₀ + r sono la suddivisione cercata, dovrà essere vero che (x₀ − r)(x₀ + r) = 40, nel caso specifico  (5 − r)(5 + r) = 40.
Svolgendo il prodotto notevole (somma per differenza), si ha  25 − r^₂ = 40, il che implica che r^₂ sia negativo: r^₂  =  −15.

A questo punto Cardano introduce la quantità √−15 (ideo immaginaberis R. m. 15., nel testo e con la notazione di allora), da sottrarre e aggiungere a 5 per avere la soluzione cercata:  5.  p.  R.  m. 15.  e  5. m.  R.  m. 15.  che significa: 5 + √−15  e 5 − √−15.
Quindi dimostra che effettivamente queste entità costituiscono una soluzione del problema, dato che:

5 + √−15  + 5 − √−15 = 10  
e 
(5 + √−15 )·(5 − √−15) = 5² − (√−15 )² = 25 − (−15) = 40

Ma Cardano, non riesce a trovare una giustificazione per queste strane quantità. Ne attribuisce la comparsa alla diversa natura di ad (il quadrato), che non è la stessa di 40 (che considera una linea), essendo una superficie più lontana dal numero e una linea più vicina ad esso. Alla fine, non riconoscendo il "tesoro matematico" che aveva a portata di mano, ritiene questi ragionamenti essere capziosi (sofistici) e  tanto sottili quanto inutili.

Radici quadrate negative comparivano anche nelle formule risolutive  di alcune equazioni di terzo grado: ad esempio  x³ − 15x  =  4,
di cui si conosceva, per sostituzione diretta, la radice reale x = 4.
La formula risolutiva di Cardano dava: x = ( 2 + √−121 )^1/3 + ( 2 − √−121 )^1/3.

Raffaele Bombelli (1526-1573) cercò di dare  alle radici cubiche della formula precedente un'espressione formalmente simile a quella dei radicandi, quindi del tipo a ± √−b. Secondo la notazione moderna deve essere allora: (a + √−b)³ =  2 + √−121  e  (a − √−b)³ = 2 − √−121  . Sapendo che si deve avere  x = 4, si può facimente dimostrare che  x = 2 + √−1  + 2 − √−1.

Descartes (Cartesio, 1596-1650) per primo chiamò numeri immaginari entità quali  √−121 o  √−1  e  Eulero (1707-1783) nel 1777 introdusse il simbolo i   per designare la radice quadrata di −1,  i = √−1.


Ciò che sembrava quasi un incidente matematico, qualcosa in cui non credere veramente (numeri immaginari in contrapposizione con i numeri reali), si è poi rivelata una delle più feconde scoperte della Matematica.
 Accade spesso così.
I numeri complessi, le strutture  e i concetti matematici che da essi derivano  sono ora  uno strumento irrinunciabile per la conoscenza scientifica e per la stessa Matematica.


1.1.1 - Numeri immaginari

    Se, nel campo⁽¹⁾ dei numeri reali, tentiamo di risolvere  equazioni come: x² + 1 = 0,  andiamo incontro ad una difficoltà insormontabile. L'equazione infatti può essere scritta come x² = −1, ma sappiamo che  non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia  negativo.
Non siamo in grado di eseguire l'operazione di estrazione di radice quadrata di numeri negativi in campo reale, per cui una soluzione come x = √−1 viene considerata priva di senso. Per molto tempo si è evitato il problema semplicemente ammettendo che l'equazione  x² + 1 = 0  non possieda soluzioni in campo reale.
Il problema viene risolto introducendo la quantità i = √−1  ⁽²⁾, detta unità immaginaria.
Una prima evidente proprietà dell'unità immaginaria è la seguente:
i² = i·i =  (√−1)² =  −1.
Conseguentemente abbiamo anche: i ³ = i·i·i = −i, i ⁴ = 1.
Daremo più avanti una interpretazione geometrica di questi risultati.
Le soluzioni della precedente equazione x² + 1 = 0, sarebbero allora  x₁ = +i  e  x₂ = −i.
x² + 4 = 0, ad esempio, darebbe come soluzioni x₁ =  2i  e  x₂ =  −2i.
Oggetti di questo tipo prendono il nome di numeri immaginari  e sono formati dal 'prodotto' di un numero reale per l'unità immaginaria stessa.  
In realtà per affermare che si tratta di numeri bisogna provarlo, cioè si deve verificare che siano soddisfatte le proprietà tipiche dei numeri. In particolare deve essere possibile definire le operazioni che si possono eseguire tra numeri, tra cui, ovviamente somma e prodotto. Possiamo creare nuovi numeri immaginari sommando (o sottraendo) ripetutamente i a se stessa: i + i + i = 3i, o  moltiplicando i per un numero reale: 2,718·i, −5/3·i, √2·i,  ecc.
In generale sarà possibile sommare due numeri immaginari applicando le regole algebriche⁽³⁾ per i monomi, così: 2i + 3i = 5i. Analogo discorso per la moltiplicazione, tenendo presente la proprietà di i prima enunciata:  2i x 3i = 6i² =  6(−1) = −6. Questo può essere evidenziato affermando che il prodotto di due numeri immaginari qualsiasi è sempre un numero reale.


1.1.2 - Somma, differenza e prodotto

Possiamo sommare numeri reali a numeri immaginari, ottenendo oggetti del tipo a + ib (oppure a + jb).  Per queste entità definiamo somma, prodotto e differenza sulla scorta di quanto fatto in algebra per i binomi⁽³⁾, ricordando la proprietà di i prima enunciata.

Somma:        (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
Differenza:    (a+ib) − (c+id) = (a−c) + i(b−d)
Prodotto:       (a+ib) · (c+id)  = (ac − bd) + i(ad + bc)

Con queste definizioni è possibile dimostrare che oggetti matematici come a + ib godono effettivamente di tutte le proprietà caratteristiche dei numeri e quindi sono da considerarsi numeri a tutti gli effetti. Essi prendono il nome di numeri complessi.
Il numero a ( oppure c) è detto parte reale del numero complesso, mentre b (oppure d) è la parte immaginaria. Se z = a +ib, allora Re(z) = a, parte reale di z e Im(z) = b, parte immaginaria di z.
Notiamo che per indicare un numero complesso usiamo un carattere tipografico in grassetto, oppure z, carattere sopralineato

Esiste un numero complesso che sommato a qualsiasi altro numero complesso z = a +ib,  dia il numero z stesso?
Sì,  è 0 = 0 + i0, infatti :

          (a+ib) + (0+i0) = (a+0) + i(b+0) = (a+ib)

Questo numero è l'elemento neutro per la somma di numeri complessi.

Esiste un numero complesso che moltiplicato per qualsiasi altro numero complesso z = a +ib,  dia il numero z stesso?
Anche in questo caso la risposta è affermativa: questo numero è 1 = 1 + i0, infatti:

(a+ib)·(1+i0) = (a·1 − b·0) + i(a·0 + b·1) = a + ib

1 = 1 + i0 è l'elemento neutro per il prodotto di numeri complessi.


1.1.3 - Numeri complessi coniugati
   
Abbiamo visto prima che   i² =  −1,  per cui i·(−i) = 1.
Questo  è vero qualsiasi sia il numero immaginario. Ad esempio:  i7·(−i7) = −i²49 = 49.
Numeri di questo tipo si dicono numeri immaginari coniugati. Differiscono solo per il segno e moltiplicati tra loro danno sempre un numero reale positivo, che è il quadrato della parte immaginaria del numero immaginario stesso: ib·(−ib) = b².
Generalizzando: a+ib e a−ib sono numeri complessi coniugati. Essi differiscono solo per il segno della parte immaginaria.
Se moltiplichiamo due numeri complessi coniugati tra loro otteniamo:
(a + ib) (a − ib) = a² + iba − iab − i²b² =  a² + b².
Qui abbiamo usato la proprietà commutativa: ba = ab.
La radice quadrata di questa grandezza, sempre positiva,  √a² + b² è detta modulo del numero complesso.
Chiamando z = a + ib  e z^* = a − ib, avremo quindi : z·z^* = a² + b² = |z|².
Il complesso coniugato di  z = a + ib, è indicato anche con z = a − ib. 
Spesso il modulo è indicato con la lettera r:
|z| = r =  √a² + b² 


 1.1.4 - Divisione

Leggermente più laboriosa è la procedura per la divisione tra numeri complessi:
Dovendo eseguire ad esempio:



per evitare la complicazione di un denominatore complesso, si sfrutta la proprietà dei complessi coniugati e si assume che una frazione complessa (come una frazione algebrica) non vari moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero (complesso).
In questo caso moltiplicheremo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore:


 
ottenendo così un denominatore reale, che sappiamo facilmente trattare.

In seguito  dimostreremo  che è possibile elevare a potenza e estrarre radice dei numeri complessi e che valgono tutte quelle proprietà (commutativa, associativa, distributiva) che ci assicurano che i numeri complessi sono numeri a tutti gli effetti.


1.1.5 - Definizione formale di numero complesso

Vediamo ora una definizione formale di numero complesso.

Definizione: I  numeri complessi sono costituiti da coppie ordinate di numeri reali.
Tra tali coppie è definita un' operazione  somma:

             (a, b) + (c, d) = (a + c, b +d)

e  un'operazione  prodotto:

            (a, b)·(c, d) =  (ac − bd, ad + bc )

Date queste definizioni si può facilmente dimostrare che:

L'elemento neutro per la somma è (0, 0);

(a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b)

L'elemento opposto di (a,b) è (−a, −b);

(a, b) + (−a, −b) = (a−a, b−b) = (0, 0)

L'elemento neutro per la moltiplicazione è (1, 0)

(a,b)·(1,0) = (a·1 − b·0, (a·0+b·1) = (a, b)

Il reciproco di un numero complesso (a,b), indichiamolo con 1/(a,b),  è:



Infatti, detto (a, b) un numero complesso qualsiasi, e (r, s) il suo reciproco,  si deve avere (a, b) · (r, s) = (1, 0), cioè (ar-bs, as+br) = (1,0).
Per determinare r ed s basta allora risolvere il sistema:



che dà appunto:  

Possiamo quindi definire l'operazione divisione  (a,b) / (c,d) come prodotto (a,b) x 1/(c,d)


I numeri reali sono tutte le coppie del tipo (a,0) con parte immaginaria nulla.
Tutte le coppie del tipo (0,b), cioè con parte reale nulla, rappresentano i numeri immaginari.

Applicando le definizioni:

i²  = (0,1)·(0,1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1,0) = −1

il prodotto di due  numeri reali è un numero reale:

(a,0)·(c,0) = (a·c − 0·0, a·0 + 0·c) = (a·c,0) = a·c

Il prodotto di due numeri immaginari è un numero reale:

(0,b)·(0,d) = (0·0 − b·d, 0·d + b·0 ) = (− b·d, 0)


                  
1.2 - La geometria dei numeri complessi

Abbiamo visto come si eseguono le operazioni fondamentali con i numeri complessi, ma questo non ci fa ancora comprendere quale sia la loro vera potenza.
Perciò è opportuno ricorrere ad una rappresentazione geometrica dei numeri complessi.


1.2.1 - Il piano di Argand - Gauss

I numeri reali vengono normalmente rappresentati come punti di una retta, una volta fissata la posizione dello zero e determinato il verso positivo.


Figura 1. La retta reale: ogni numero reale corrisponde ad un suo punto


Questa retta viene spesso chiamata retta reale. Ad ogni suo punto (i punti sono infiniti) viene associato, senza possibilità di ambiguità, uno ed un solo numero reale. Si dice cioè che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti della retta.
Nella figura 1 si sono rappresentati  numeri razionali (3/4 e -3/4) e alcuni  numeri reali, con i loro simmetrici rispetto all'origine.

È possibile una rappresentazione analoga per  i numeri complessi?

Sorge subito la difficoltà di rappresentare i = √−1 .
Semplicemente non esiste alcun punto della retta a cui associare l'unità immaginaria i, dal momento che i non è un numero reale.
Se moltiplichiamo 1 per i² otteniamo −1, che è reale ed è rappresentato da un punto sulla retta.  Potremmo quindi pensare che i²  trasformi 1 nel suo opposto −1, che corrsiponde geometricamente ad una rotazione di 180° del segmento [0,1].  Ma allora moltiplicare 1 per i non potrebbe significare  ruotare  il segmento [0,1] di 90°  e che quindi  i= √−1 sia rappresentabile da un punto su una retta perpendicolare all'asse reale?
Caspar Wessel (1798), Argand (1806) e infine Gauss (1831) ebbero appunto la geniale idea di rappresentare i, e tutti gli altri numeri immaginari, su di un'altra retta perpendicolare alla retta reale.



Figura 2. Piano di Argand-Gauss. L'asse reale e l'asse immaginario sono perpendicolari

Questa retta prende il nome di retta immaginaria o asse immaginario.
Nel piano di Gauss (d'ora in poi lo chiameremo così) ogni numero complesso z =  a+ib è rappresentato da un punto, identificato da una coppia ordinata di numeri:
z = (a,b) in cui il primo elemento della coppia è la parte reale ed il secondo la parte immaginaria di z.

I numeri reali sono rappresentati da tutte le coppie del tipo (a,0), i numeri immaginari da tutte le coppie (0,c).
In particolare l'unità immaginaria i è rappresentata dalla coppia (0,1)  e quindi  √−1 = (0,1).

Carica la lavagna interattiva che rappresenta il piano di Gauss. Puoi trascinare il punto z ed osservare, in alto a sinistra, come variano la parte reale ed immaginaria del numero complesso rappresentato dal punto z.



1.2.2 - Numeri complessi e vettori

Abbiamo già evidenziato che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato fornisce una grandezza reale, sempre positiva:  z·z^* = a² + b²,  la cui radice quadrata  r = |z| = √a² + b²  abbiamo chiamato modulo del numero complesso.
Nel piano di Gauss, |z| rappresenta la distanza (euclidea) del punto z dall'origine. Questo conduce a pensare al numero complesso, non solamente come un punto nel piano di Gauss, ma come un vettore di modulo |z| che rappresenta la  posizione del punto z rispetto all'origine degli assi.


Anche qui però dobbiamo  porre attenzione al fatto che non basta semplicemente dare un nome ad una grandezza:  se affermiamo che z è un vettore dobbiamo provare che si comporta effettivamente come un vettore.
Per esempio  dovremmo verificare che i vettori rappresentativi di numeri complessi si sommano secondo la regola del parallelogrammo. Questo in effetti lo si può vedere facilmente sulla lavagna di sinistra.
Dato allora un numero z e un numero w, visualizziamo il numero  s = z + w  ed i vettori corrispondenti
Anche la differenza d = z − w ha il suo corrispondente nella differenza tra vettori. Il vettore differenza d è semplicemente il vettore differenza (tratteggiato) trasposto ed applicato all'origine.
Prodotto e divisione rappresentati sul piano di Gauss come vettori meritano un discorso a parte, che riprenderemo dopo aver introdotto un altro tipo di rappresentazione dei numeri complessi: la forma polare.


1.2.3 - Interpretazione geometrica del prodotto e della divisione di numeri complessi

Per il momento visualizziamo il prodotto  p = z·w   (prendiamo z e w in modo che p sia all'interno del campo di visualizzazione, ad esempio  z=2+i2 e w =3+i1)
Ora teniamo fisso z e facciamo variare il punto w.
Osserviamo un fatto interessante: il vettore p, oltre a subire una variazione del modulo viene ruotato di un certo angolo.

Possiamo evidenziare meglio questo fatto immaginando di vincolare il punto z a muoversi lungo una circonferenza.  Consideriamo un secondo numero w e supponiamo che il suo punto rappresentativo a sua volta si  muova lungo una  circonferenza. Ciò equivale a far variare z e w mantenendo costante il loro modulo. Osserviamo il comportamento del prodotto  p = z·w. Portiamo w sull'asse reale (w = 2 + i0) e notiamo che il vettore prodotto p = z·w è parallelo a z, giace cioè sulla stessa retta e forma quindi con l'asse reale un angolo uguale a quello formato da z. Ora  ruotiamo w, ad esempio in senso antiorario. Il vettore prodotto ruota anch'esso mantenendo costante il modulo. Cerchiamo di apprezzare l'angolo tra p e z.  Confrontiamolo con l'angolo che  w forma con l'asse reale. Questi due angoli sono evidentemente uguali.
L'angolo che il vettore rappresentativo di un numero complesso forma con l'asse reale è detto argomento del numero complesso.
L'argomento θ  di p allora è la somma tra  α, argomento di z , e β, argomento di w: θ = α + β.  Se spostiamo w nel IV quadrante (parte reale positiva; parte reale negativa) questa relazione è ancora vera? Sembrerebbe ora di dover eseguire una differenza tra angoli, questo perchè  l'angolo β in questo caso è negativo. La relazione θ = α + β è quindi ancora valida e lo è anche per gli altri quadranti.
Cosa possiamo dire della divisione q = z/w ?
Anche qui poniamo w sull'asse reale. Ruotiamo w in senso antiorario. Ora sembra chiaro che l'angolo δ argomento di q  corrisponde alla differenza:  δ = α − β.
Potremo dimostrare questi fatti dopo aver introdotto la forma trigonometrica dei numeri complessi.


1.2.4 - L' unità immaginaria come operatore di rotazione

Particolarmente importante  e interessante è il ruolo geometrico che riveste l'unità immaginaria i, la quale è a sua volta rapresentata da un vettore di modulo unitario.
Dopo aver caricato la lavagna, osserviamo cosa accade quando moltiplichiamo un numero complesso qualsiasi per i.
Supponiamo, ad esempio, di moltiplicare per i il numero z = 3 + i2, applicando la definizione di prodotto e la proprietà dell'unità immaginaria i² =  −1:
(3 + i2) · i  =  3i + i²·2 = −2 + i3
Notiamo che il modulo resta invariato (la parte reale e la parte immaginaria si scambiano di ruolo), ma il vettore z·i viene ruotato di 90° (π/2 radianti) in senso antiorario rispetto a z.
Cosa succede se dividiamo z per  i ?

3 + i2	=	(3 +  i2)(−i)	=	−3i −  i22	=	−3i +2
i		i(−i)		−i2		1

Qui abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per −i (il complesso coniugato di i) per avere 1 al denominatore, quindi:
(3 + i2) / i = 2 − i3 .
In questo caso il vettore z/i ha ancora lo stesso modulo di z, ma viene ruotato di 90° in senso orario ( rotazione di −90°, −π/2 radianti).
Da  ciò possiamo anche comprendere che dividere per i equivale a moltiplicare per −i:

1	=	(−i)	=	−i	=	−i	=	−i
i		i(−i)		−i2		1

In conclusione, l'unità immaginaria i può essere pensata come un operatore di rotazione di 90° o π/2 radianti:

z·i       ⇒    ruota z di +90° (rotazione di 90° in senso antiorario)

z·(−i)  ⇒    ruota z di −90° (rotazione di 90° in senso  orario, equivale a z/i )

Possiamo moltiplicare ripetutamente per i:

z·i ·i = z·i² = z·(−1) = −z

esempio: (3 + i2) · i² = (3 + i2) · (−1) = −3 − i2, che equivale a far  ruotare il vettore di 180°.
Cosi, moltiplicare per  i³  equivale a moltiplicare per  i²·i = (−1)·i = −i, che rappresenta una rotazione di 270° oppure di −90°.
Invece moltiplicare per  i⁴ =  i²· i² = (−1)(−1) = 1 equivale a una rotazione di 360°.

Riassumendo:

moltiplicazione per	rotazione
i	90°
i 2	180°
i 3  (−i )	270° (−90°)
i 4	360°

1.3 - Forma trigonometrica e polare dei numeri complessi

Oltre alla forma algebrica a +ib di un numero complesso, sono possibili altre due importanti forme  rappresentative dei numeri complessi: la forma trigonometrica e la forma polare. 


1.3.1 - La forma trigonometrica dei numeri complessi

Ricordiamo il significato di alcuni simboli: 
z = a +ib, r_z = √a² + b² è il modulo del numero complesso ed anche del vettore che lo rappresenta nel piano di Gauss.
Il modulo r_z coincide con il raggio della circonferenza su cui muoviamo il punto z.
Ora immaginiamo di proiettare il vettore z sull'asse reale.
Il vettore forma l'angolo α con l'asse reale, l'angolo α è detto argomento del numero complesso z, si indica con Arg(z) e a volte è  anche chiamato angolo di fase o semplicemente fase.
La proiezione, grazie alle relazioni trigonometriche di un triangolo rettangolo  è data da r_z·cos(α).
Allo stesso modo proiettiamo z sull'asse immaginario. Questa proiezione è data da r_z·sin(α). Ma  r_z·cos(α) = a e r_z·sin(α) = b, quindi:
z = a +ib = r_z·cos(α) + ir_z·sin(α) = r_z·[cos(α) + isin(α)]
La forma trigonometrica del  numero complesso  z è allora:

        z = r_z·[cos(α) + isin(α)]

La rappresentazione in forma trigonometrica dei numeri complessi non è univoca, infatti, a causa della periodicità delle funzioni seno e coseno, si ha anche:

        z = r_z·[cos(α + 2kπ) + isin(α + 2kπ)]         (k = 0, 1, 2,...)

Se si vuole evitare questa ambiguità  si può considerare  −π  <  α < +π, nel qual caso α prende il nome di determinazione principale di Arg(z) e talvolta si indica con arg(z) (vedere anche il paragrafo 1.3.5 per uleriori considerazioni sull'argomento ).

 Il complesso coniugato di z è:

        z* =  r_z·[cos(α) − isin(α)]

Possiamo ora dimostrare quanto visto nel paragrafo precedente relativamente a prodotto e divisione.
La forma trigonometrica per il numero w di modulo w e argomento β  è:

        w = r_w·[cos(β) + isin(β)]


1.3.2 - Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica 

Il prodotto z·w = r_z·r_w·[cos(α) + isin(α)]·[cos(β) + isin(β)] si ottiene applicando le definizioni viste precedentemente:

        z·w = r_z·r_w·{ [cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β)] + i·[sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)] }

se osserviamo le espressioni in parentesi quadre vediamo che
cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β) = cos(α + β) e sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) = sin(α + β) e quindi:

z·w = rz · rw · [ cos(α + β) + i·sin(α + β)]

Concludiamo che il prodotto è un vettore che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti.


1.3.3 - Divisione di numeri complessi in forma trigonometrica

Per ottenere il quoziente  z/w = (r_z/r_w)·[cos(α) + isin(α)]·[cos(β) + isin(β)]⁻¹  calcoliamo prima
[cos(β) + isin(β)]⁻¹  reciproco di  cos(β) + isin(β). Applichiamo la definizione di reciproco data in 1.5 o la procedura di paragrafo 1.4:


[cos(β) + isin(β)]⁻¹ =  cos(β) / (cos(β)²+ sin(β)²) − isin(β) / (cos(β)²+ sin(β)²)

ma ricordiamo che (cos(β)²+ sin(β)² = 1 e allora:

[cos(β) + isin(β)]⁻¹ = cos(β) − isin(β).

Quindi: z/w = (r_z/r_w)·[cos(α) + isin(α)]·[cos(β) − isin(β)]

Il quoziente dei due numeri complessi è dato allora da:

        z/w = (r_z/r_w)·{ [cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)] + i·[sin(α)cos(β) − cos(α)sin(β)] }

Qui, tra parentesi quadre abbiamo le formule trigonometriche di sottrazione, per cui:
     

z/w = (rz/rw)· [cos(α − β) + i·sin(α − β)]

Il quoziente è un vettore che ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.


1.3.4 - Forma polare dei numeri complessi

Le considerazioni svolte nel paragarfo precedente ci consentono di individuare un'altra modalità di rappresentazione dei numeri complessi: la cosiddetta forma polare, in cui viene messo in evidenza il  modulo e l'argomento   secondo la notazione: modulo∠argomento, in cui il primo numero rappresenta il modulo del  vettore, il secondo l'angolo con l'asse reale (in gradi o radianti : nella pratica tecnica il grado è preferito), separati dal simbolo ∠ con cui si indica  che il numero che lo segue rappresenta appunto un angolo.


1.3.5 - Passare dalla forma algebrica alla forma polare e viceversa

Se il numero complesso è espresso in forma algebrica, ad esempio z = 4 + i3, bisogna calcolare il modulo r_z =  √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5, e successivamente l'argomento. Per questa operazione notiamo che la tangente dell'argomento α è data dal rapporto tra parte immaginaria e parte reale del numero complesso, nel nostro caso  tan(α) = 3/4 = 0.75  quindi α = arctan(0.75) = 36.87°  ovvero 0.64 radianti.
In forma polare avremo:

        z = 5∠36.87°  oppure  z = 5∠0.64

Quindi per  passare dalla forma algebrica alla forma polare:

a + i·b →  √a2 + b2∠arctan(b/a)

Riguardo all'argomento arctan(b/a) è opportuna una considerazione.

Come si vede nella figura, il codominio della funzione arctan(x) è l'intervallo aperto ]−π/2, +π/2[.  
Non vi è alcun problema nel calcolo dell'angolo se il numero complesso si trova nel primo (a>0, b>0) o nel quarto (a>0, b<0)) quadrante.
Se il vettore si trova nel terzo quadrante (a<0, b≥0) il risultato di arctan(b/a) sarà un valore negativo (es. −2+i3 , arctan(3/(-2)) = −0.983  (−56.31°), chiaramente non corretto. In tal caso è necessario aggiungere π  all'angolo trovato : −0.983 + π = 2.159 rad ( −56.31° + 180° = 123.7°).
Analogamente, se ci troviamo nel 3° quadrante (es. −2−i3, arctan((-3)/(-2)) = +0.983  (+56.31°). In questo caso aggiungeremo π se vogliamo l'angolo convesso (angolo positivo): 0.983 + π = 4.125  rad ( +56.31° + 180° = 236.31°) oppure togliermo π se desideriamo la rappresentazione con angolo concavo (angolo negativo) : 0.983 − π = −2.159  rad ( +56.31° − 180° = −123.69°).
Se la parte reale è nulla (es. 0+i3), non è evidentemente possibile il calcolo dell'angolo con arctan(b/0), ma è chiaro che in questo caso l'argomento sarà ± π/2 (±90°), a seconda del segno della parte immaginaria.

Riassumendo:
se  z = a +ib = r_z·[cos(α) + isin(α)] , la sua forma polare è:

z =  rz∠α

il complesso coniugato z* =  r_z·[cos(α) − isin(α)], in forma polare è:

z* =  rz∠−α

−π  <  α < +π, è la determinazione principale di Arg(z).
Spesso, soprattutto nell'uso tecnico,  α è espresso in gradi e allora  −180°  <  α < +180°

Per la trasformazione inversa, da forma polare ad algebrica si usa la forma trigonometrica:

z∠α → rz· [cos(α) + i·sin(α)]

1.3.6 -  Moltiplicazione e divisione in forma polare

Grazie alla forma trigonometrica abbiamo già messo in evidenza (2.3.1 e 2.3.2) che il prodotto di due numeri complessi è un mumero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento, la somma degli argomenti. Questo si traduce direttamente nella regola per il prodotto in forma polare:

z∠α · w∠β → rz · rw ∠α+β

Analoghe considerazioni per  la divisione:

z∠α / w∠β →  rz/rw∠α−β

che è data da un numero che  ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.
Dal punto di vista dell'esecuzione dei calcoli  è conveniente moltiplicare e dividere numeri in forma polare, ma somma e sottrazione possono essere eseguiti solamente in forma algebrica.

Esempio.
Moltiplicare i numeri  z=2+i3 e  w = 2+i1

Trasformiamo in forma polare:

r_z =  √2² + 3² = √4 + 9 = √13 = 3.606    tan(α) = 3/2 = 1.5       α = arctan(1.5) =  56.31°

r_w = √2² + 1² = √4 + 1 = √5 = 2.237  tan(β) = 1/2 = 0.5       α = arctan(0.5) =  26.57°

quindi z = 3.606∠56.31°    e    w = 2.237∠26.57

Il prodotto: z·w = 3.606∠56.31° · 2.237∠26.57 =  8.06 ∠ 82.88°
il quoziente: z/w = 3.606∠56.31° / 2.237∠26.57 =  1.612∠ 29.74°

Trasformiamo i risultati in forma algebrica:

z·w =  8.06∠ 82.88° = 8.06 · [cos(82.88°) +i ·sin(82.88°)] =
                                  = 8.06 · [0.124 + i·0.992] =
                                  = 1 + i·8

z/w = 1.612∠ 29.74° = 1.612 · [cos(29.74°) +  i·sin(29.74°)] =
                                   = 1.612 · [0.868 + i·0.496] =
                                   = 1.4 + i·0.8

dove, per comodità, abbiamo commesso l'imprecisione formale di scrivere in gradi, anzichè in radianti come si dovrebbe, gli argomenti di seno e coseno.



1.4 - Elevamento a potenza di numeri complessi. Formula di De Moivre.

Dopo aver preso in considerazione  le  operazioni fondamentali tra numeri complessi ci chiediamo ovviamente se e in che modo sia applicabile ad essi il concetto di elevamento a potenza.  

 
1.4.1 -  Potenza con esponente intero di un numero complesso

Elevare  un numero reale a alla potenza n significa come sappiamo moltiplicare a per se stesso n volte: aⁿ = a⋅a⋅a...⋅a      (n volte).
Estendiamo questa definizione ai numeri complessi:

        (a +ib)ⁿ = (a +ib)⋅(a +ib)⋅(a +ib)...⋅(a +ib)     (n volte)

e supponiamo valide  le note proprietà delle potenze:

1. z ⁿ⋅z ^m = z ^n+m 
2. z ⁿ / z ^m = z ^n−m 
3. (z ⁿ )^m = z ^n⋅m
4. z ^1/n=  ⁿ√z
5. z ⁿ⋅w ⁿ =  (z⋅w)ⁿ

Tutto ciò diventa particolarmente interessante se il numero complesso è espresso in forma trigonometrica ⁽⁴⁾:

        [r_z·(cos α + i sin α)]ⁿ = r_zⁿ·(cos α + i sin α)ⁿ

Qui abbiamo applicato la  propietà V delle potenze: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.


1.4.2 - Le proprietà del  numero cos α + i sin α

Il numero cos α + isin α, che chiameremo u, gode di alcune proprietà interessanti sulle quali  vale la pena di soffermarsi. Intanto esso rappresenta, al variare di α, qualsiasi numero complesso di modulo unitario, infatti cos²α + sin²α =1.
Poi, proprio perchè il modulo è unitario, esso può essere considerato alla stregua di un operatore di rotazione di α radianti.
Verifichiamolo con un esempio.
Sia α = π/3 (60°), quindi cos α + isin α = cos π/3 + i sin π/3  =  1/2 + i√3/2.
Moltiplichiamo ora un numero complesso , ad esempio 3 + i2, per  cos π/3 + i sin π/3:
(3 + i2)⋅(cos π/3 + i sin π/3) =(3 + i2)⋅(1/2 + i√3/2) = 3⋅1/2 + i² 2⋅√3/2 + i3⋅√3/2 + i2⋅1/2 = − 0.232 + i3.598 = 3.61∠93.69°.
Poichè 3 + i2 → 3.61∠33.69° , osserviamo che 93.69 − 33.69 = 60°., mentre ovviamente il modulo non è variato.
La moltiplicazione per  cos π/3 + i sin π/3 ha quindi provocato la rotazione di π/3 radianti del vettore 3 + i2 in senso antiorario. Questo è un fatto di ordine generale e lo si può facilmente verificare. 
L'operazione inversa, cioè la divisione per cos π/3 + i sin π/3, ha invece l'effetto di provocare una rotazione in senso opposto di π/3 radianti come è facile verificare.
La forma polare è evidentemente: cos α + i sin α → 1∠α.

Avvicina o allontana l'inquadratura :



1.4.3 - La formula di De Moivre  (cos α + i sin α)ⁿ  = cos nα + i sin nα

Ancor più interessante è il risultato dell'elevamento alla potenza n-sima, con n intero: (cos α + i sin α)ⁿ.
Proviamo per ora a calcolare (cos α + i sin α)²:

(cos α + i sin α)² = (cos α + i sin α)⋅(cos α + i sin α) = cos² α − sin² α + i⋅ 2⋅sin α⋅cos α
Dalla trigonometria sappiamo che: cos² α − sin² α = cos 2α e 2⋅sin α⋅cos α = sin 2α, sono cioè le cosiddette formule di duplicazione.
Allora abbiamo dimostrato la formula di De Moivre almeno per il caso n = 2:

 (cos α + i sin α)² = cos 2α + i sin 2α

È relativamente semplice dimostrarne la validità anche per n=3,4,..., tuttavia poichè non possiamo procedere indefinitamente con queste verifiche ( n → ∞) dobbiamo cercare una dimostrazione generale della formula.

 
1.4.4 - Dimostrazione per induzione della formula di De Moivre

Esiste una tecnica di dimostrazione matematica molto potente: la dimostrazione per induzione.
Si procede così:

1. Si dimostra l'affermazione per un caso particolare, ad esempio n=1;
2. Si dimostra che se  l'affemazione vale per un caso generico n, allora sarà valida anche per n+1;
3. Si conclude che, potendo essere n qualsiasi, l'affermazione è vera in generale e con ciò essa risulta dimostrata.

Applichiamo la procedura al nostro caso:

Dobbiamo dimostrare che: (cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα

a.    per n=1, (cos α + i sin α)¹ = cos 1α + i sin 1α è certamente vera;
        
b.    supponiamo che  (cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα, per n qualsiasi, sia vera,
        dimostriamo che allora lo è anche per n+1:

        [ (cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα ]  ⇒  
        ⇒ [ (cos α + i sin α)ⁿ⁺¹ =  cos (n+1)α + i sin (n+1)α ]

        Per la proprietà I delle potenze (par. 1.4.1):

        (cos α + i sin α)ⁿ⁺¹ = (cos α + i sin α)ⁿ⋅(cos α + i sin α);

        ma abbiamo ipotizzato che (cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα, quindi:

        (cos α + i sin α)ⁿ⁺¹ = (cos nα + i sin nα)⋅(cos α + i sin α)

        Per semplicità poniamo nα = β, allora abbiamo:

        (cos α + i sin α)ⁿ⁺¹ = (cos β + i sin β)⋅(cos α + i sin α)

        Applicando la definizione di prodotto:

        (cos β + i sin β)⋅(cos α + i sin α) =
        = cos β⋅cos α  + i² sin β⋅sin α + i sin β⋅cos α + i sin α⋅cos β=
        = cos β⋅cos α  − sin β⋅sin α + i (sin β⋅cos α + i sin α⋅cos β) =
        = cos (β + α) + i sin (β + α)  = cos (nα + α) + i sin (nα + α) =
        = cos (n +1)α  + i sin (n + 1) α.

        Quindi abbiamo dimostrato che:

        (cos α + i sin α)ⁿ⁺¹ =  cos (n +1)α  + i sin (n + 1) α

c.     Poichè non abbiamo posto alcuna restrizione su n,
        esso può assumere qualsiasi valore (da 1 a ∞) e quindi
        la formula di De Moivre:

        (cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα

        è dimostrata.
       
In generale allora la potenza  n-sima, con n intero, di un numero complessso potrà essere espressa come:

         [r_z·(cos α + i sin α)]ⁿ = r_zⁿ·(cos nα + i sin nα)
       

1.5 - Radici di un numero complesso

L'operazione inversa dell'elevamento a potenza è l'estrazione di radice.
Il numero w è la radice n-sima di z se wⁿ = z, con n intero. 

(w ⁿ )^1/n = z^1/n  →  w ^n/n =  z^1/n →  w  =  z^1/n→  w  =  √z


1.5.1 - Radice quadrata di un numero complesso in forma algebrica

Se w = a + i b e z = u + i v

dalle relazioni precedenti abbiamo:

(a + i b)² = u + i v

cioè:

a² − b² + i 2ab = u + i v

Due numeri complessi sono uguali se sono rispettivamente uguali la parte reale e la parte immaginaria, dunque:

{	a2 − b2  = u
	2ab =  v

la soluzione del sistema dà:

√z = a + i b = ±	√	u + √u2 + v2	± i	√	−u + √u2 + v2
		2			2

È istruttivo calcolare la radice quadrata per alcuni particolari numeri.
Per z = 4 +i0  ( u=4, v=0), sostituendo nella formula precedente abbiamo la radice quadrata
√z  = a + i b = ±(√8/2 + i√0)= ±2, come ci aspettiamo.
proviamo ora con z = 0 +i4 (u=0, v=4):
√z  = a + i b = ±(√4/2 + i√4/2) =  ±(√2 + i√2).
 Fatto interessante : la radice quadrata del numero immaginario i4 non è data da un numero immaginario puro (ad esempio i2) ma dal numero complesso  ±(√2 + i√2):
√i4 = ±(√2 + i√2)
La  forma polare ci indica chiaramente che l'argomento è dimezzato rispetto a quello del radicando z:
(√2 + i√2) → 2∠45°    e    −(√2 + i√2) → 2∠225°
La molteplicità delle radici, come ci aspettavamo è 2.


1.5.2 - Esempio di radice  di un numero complesso con n = 3

Supponiamo di voler trovare la radice cubica di 8.
Nel campo reale abbiamo un'unica soluzione: ³√8 = 2.
Tuttavia ora sappiamo che un numero reale altro non è se non un numero complesso con parte immaginaria nulla:
8 = 8 + i0.
Cosa succede se estraiamo la radice cubica di questo numero? Avremo ancora un'unica soluzione?

³√8+i0 = ?

Seguendo la linea di ragionamento del paragrafo precedente, se il numero a + i b è la radice cubica cercata allora

(a + i b)³ = u + i v

cioè:

a³ + (i b)³ + i 3a²b + i² 3ab² = u + i v  ⁽⁵⁾
 
Ora ricordando che  i² = −1 e che i³ = −i

a³− 3ab²+ i (3a²b − b³) = u + i v

Nel nostro caso particolare :

a³− 3ab²+ i (3a²b − b³) = 8 + i 0

Dobbiamo allora eguagliare le parti reali e le parti immaginarie:

{	a3− 3ab2 = 8
	3a2b − b3 = 0

Dalla seconda equazione: 3a²b − b³ = 0, raccogliendo b, si ha  b·(3a² − b² )= 0

che risolta per b dà:

b =0 ; b = a√3  e b = −a√3

1) Per b= 0:

a³− 3ab² = 8 → a³ = 8

e abbiamo quindi la soluzione 2 + i 0

2) Per  b = a√3:

a³− 3ab² = 8 →  a³− 3a(a√3)² = 8 →
a³ − 9a³ = 8 →  − 8a³ = 8   →  
a³ = −8/8 →   a = −1
 
b = −√3

che fornisce la soluzione  −1− i √3

3) Per   b = −a√3

a³− 3ab² = 8→  a³− 3a(−a√3)² =8 →
a³ − 9a³ = 8 →  − 8a³ = 8   →  
a³ = −8/8 →   a = −1

b = −(−√3) = √3

che fornisce la soluzione  −1 + i √3

La radice ³√8+i0 ha allora tre soluzioni in campo complesso:

2 + i 0;  −1 − i √3; −1 + i √3


1.5.3 - Radici ed equazioni algebriche

È interessante notare che, nel campo dei complessi, il numero di radici (dall'esempio almeno fino a n=3) sembra essere uguale all'indice della radice stessa. Cioè, data la  ⁿ√x  , avremmo per n = 2  due radici, per n = 3  tre radici.
Se così fosse  e se questa congettura fosse vera per ogni n, la situazione sarebbe più soddisfacente rispetto a quanto accade  in campo reale, in cui ⁿ√x  non ha soluzioni se n è pari e x < 0, oppure ha 1 soluzione se n è dispari e due se n è pari e x >0.
D'altra parte l'estrazione di radice di indice n è in qualche modo correlata all'esistenza di soluzioni (che non a caso chiamiamo radici) di equazioni algebriche di grado n, come
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...a₂x² + a₁x + a₀ = 0. I coefficienti a_i e la variabile x sono, nel caso più generale, numeri complessi.
Ad esempio,  √4096, equivale a risolvere l'equazione  di secondo grado x² = 4096,  da cui si ottengono le due soluzioni reali  x = 64 e  x = −64
L'estrazione della radice cubica di 4096, ³√4096, significa risolvere  l'equazione di terzo grado
x³ = 4096, con l'unica soluzione reale x = 16.
L'estrazione della radice quarta,  ⁴√4096 equivale a risolvere l'equazione di quarto grado  x⁴ = 4096.
Quest'ultima è un'equazione bi-quadratica che può essere risolta con la nota tecnica della sostituzione di variabile:
se poniamo t = x² l'equazione diviene: t² = 4096, che, come prima,  dà le soluzioni reali: t = 64 e  t = −64.
L'equazione di quarto grado equivale allora alle due equazioni di secondo grado :

1. x² = 64
2. x² = −64

la prima delle quali ha le due soluzioni reali x = 8 e  x = −8.
La seconda equazione invece non ha soluzioni  nel campo dei numeri reali.


1.5.4 - La chiusura algebrica, ovvero quanti tipi di numeri ci vogliono?

Il fatto che esistano equazioni non risolubili , o operazioni non eseguibili all'interno di una certa struttura algebrica (si direbbe in linguaggio tecnico che la struttura  non è algebricamente chiusa) costituisce una forte motivazione per  l'introduzione di nuovi tipi di numeri. Il campo dei reali non è chiuso per l'estrazione di radice quadrata perchè questa operazione non è eseguibile per numeri reali negativi. Il campo complesso è invece chiuso per questa operazione. 
Nuovi tipi di numero sono stati introdotti nel tempo per risolvere problemi di chiusura algebrica:
i numeri interi relativi (`ZZ`) risolvono il problema di sottrazioni tipo 3− 5, impossibile all'interno dei numeri interi naturali (`NN`);
i razionali (`QQ`) permettono la divisione tra interi non divisibili, es. 3 : 5;
con i reali (`RR`) si affrontano questioni più delicate quali l'esistenza di  numeri irrazionali (come √2)  e di numeri trascendenti  come e, numero di nepero, o π, pi greco, rapporto tra circonferenza e raggio;
i numeri complessi (`CC`) sono la chiusura algebrica dei numeri reali. Un teorema la cui dimostrazione esula dallo scopo di questa lezione, detto teorema fondamentale dell'Algebra, assicura che tutte le operazioni e tutte le equazioni algebriche sono risolubili in campo complesso e quindi non è e non sarà più necessario ricorrere a nuovi tipi di  numeri. 


1.5.5 - Radice n-sima di un numero complesso

 Cerchiamo ora di dimostrare che è possibile estrarre la radice di indice n intero di un numero complesso con n qualsiasi e che il numero di queste radici coincide con l'indice n. Per questo è utile ricorrere alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi.
Nel precedente paragrafo  1.4.4 abbiamo dimostrato la validità dell'importante formula di De Moivre:
(cos α + i sin α)ⁿ =  cos nα + i sin nα

grazie ad essa è possibile esprimere la potenza n-ma intera di un numero complesso come:

zⁿ = r_zⁿ·(cos nα + i sin nα)
  
in cui z è il modulo del numero complesso ed è sempre positivo.
Immaginiamo ora di calcolare la radice n-sima di w = w·(cos β + i sin β) e che questa radice sia z:

 ⁿ√w = w^1/n= z

allora zⁿ = w e cioè:

r_zⁿ·(cos nα + i sin nα) = r_w(cos β + i sin β)

perchè questa uguaglianza sia verificata è necessario che: r_zⁿ = r_w e che  cos nα = cos β, sin nα = sin β.
Tuttavia sappiamo che le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche con periodo 2π per cui dovremo avere:

nα = β + 2kπ,    k ∈ `ZZ`     (k = 0, ±1,±2,...)

Da questa equazione ricaviamo:

α	=	β + 2kπ	k ∈ `ZZ`
		n

Se k ∈ `ZZ`, avremo valori di α che si ripetono, e quindi radici non distinte.
Se, ad esempio, diamo a k il valore n, abbiamo α = β /n + 2nπ/n  e quindi  α = β /n + 2π che è ancora uguale a β /n. Allora per avere radici distinte il valore massimo di k sarà n −1, dato che  per k = n avrei una radice già trovata con k = 0.
Se considero i valori negativi, ad esempio k= −1, avrò α = β /n − 2π/n, che però è uguale a  α = (β /n − 2π/n)+ 2π  = β /n +  2π(n − 1)/n, valore che ottengo anche con k = n −1. Proseguendo si può facilmente verificare che il valore di α per k = −2 si può ottenere anche per k = n −2. Quindi possiamo limitarci ai valori positivi di k.
Ogni numero complesso possiede allora n radici distinte, così espresse:

n√w = rw1/n	(	cos	β + 2kπ	+  i sin	β + 2kπ	)	,   k = 0, 1, 2, ... n − 1
			n		n

1.5.6 - Le radici dell'unità

Come abbiamo visto, l'unità in campo complesso è il numero 1 = 1 + i  0, oppure la coppia (1,0).
Se: zⁿ = 1,  allora z rappresenta le radici n-sime dell'unità
La formula precedente dà in questo caso (β = 0 ):

n√1  =	(	cos	2kπ	+  i sin	2kπ	)	,   k = 0, 1, 2, ... n − 1
			n		n

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Rev.  21/07/2013

 

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⁽¹⁾  Il termine campo non è usato casualmente. In Algebra campo indica una particolare struttura dotata delle proprietà di un anello commutativo (un insieme su cui sono definite somma e moltiplicazione, e sono valide la legge associativa e commutativa) oltre alla esistenza del reciproco di ogni elemento diverso da zero. 

⁽²⁾  In alcuni casi, per esempio Elettrotecnica ed Elettronica, per evitare confusioni con il simbolo dell'intensità di corrente, si preferisce usare  j = √−1  anzichè i, come simbolo per l'unità immaginaria. 
⁽³⁾ Ovviamente, nel caso di generalizzazioni, si cerca di applicare regole e definizioni già utilizzate per altri tipi di numeri.   
⁽⁴⁾ Usiamo qui una notazione semplificata per le funzioni trigonometriche: cos(α) → cos α,  sin(α) → sin α.
⁽⁵⁾ Si confronti con il cubo del binomio (a+b)³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab².



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