Calcolo della somma \(\boldsymbol{\varSigma \,f(t)} \Delta \boldsymbol{f(t)}\)    

1 - Il prodotto \(\small f(t) \Delta f(t)\)

Capita spesso nelle discipline scientifiche di dover spiegare concetti per i quali è essenziale ricorrere alle variazioni di grandezze espresse come funzione di altra variabile.

Quando non si vuole o non si può ricorrere al calcolo differenziale, l'uso delle relazioni o equazioni tra differenze finite (quelle grandezze precedute dal simbolo \(\small \Delta\), che indica appunto una loro variazione), costituisce una valida alternativa, che può perfino favorire la comprensione grazie ad una maggiore accettabilità o, per così dire, concretezza di queste grandezze e delle operazioni algebriche che le coinvolgono.

Tuttavia le differenze finite vanno manipolate con una certa accortezza, per poter raggiungere risutati corretti (sebbene approssimati) e coerenti.

Qui ci occupiamo, data una funzione \(\small f(t)\) della variabile \(\small t\) di ricavare una relazione interessante per il prodotto della funzione \(\small f(t)\) per la sua stessa variazione attorno a \(\small t\), \(\small \Delta f(t)\)), e cioè :

(1) \( \qquad \qquad \qquad f(t)\,\Delta\,f(t) \)

Si ha spesso a che fare con prodotti di questo tipo in Fisica. Immaginiamo ad esempio di dover calcolare il lavoro elementare di una forza costante \(\small F\), che sposti una massa \(\small m\) per una lunghezza \(\small \Delta\,x\):

(2) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = F\,\Delta\,x \)

Con alcuni veloci passaggi abbiamo:

(3) \( \qquad \qquad \qquad F = m\,a \qquad a = \dfrac{\Delta\,v(t)}{\Delta\,t} \qquad F = m\,\dfrac{\Delta\,v(t)}{\Delta\,t} \)

Secondo la prima delle (3), una forza costante implica un'accelerazione costante (supposta costante anche la massa), motivo per cui non abbiamo evidenziato una dipendenza dal tempo dell'accelerazione. Invece la velocità deve necessariamente dipendere dal tempo, atrimenti l'accelerazione sarebbe nulla. Pur non essendo per semplicità evidenziata, anche la variazione di lunghezza \(\small \Delta\,x\) potrebbe dipendere dal tempo.
Troviamo ora il lavoro:

(4) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = F\,\Delta\,x = m\,\dfrac{\Delta\,v(t)}{\Delta\,t}\,\Delta\,x \)

ma \(\small \Delta\,x = v(t)\,\Delta\,t\) e dunque:

(5) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = F\,\Delta\,x = m\,\dfrac{\Delta\,v(t)}{\Delta\,t}\,v(t)\,\Delta\,t \)

da cui evidentemente, semplificando \(\small \Delta\,t\):

(6) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = F\,\Delta\,x = m\,v(t)\,\Delta\,v(t) \)

Diventa quindi interessante vedere se si può ricavare da (6) un'espressione in cui non compaia più la variazione \(\small \Delta\,v(t)\)

Evidentemente, posto \(\small v(t) = f(t)\) e \(\small \Delta\,v(t) = \Delta\,f(t)\), ci troviamo proprio in un caso analogo a quello proposto all'inizio.

Per fissare le idee supponiamo che \(\small f(t)\) rappresenti l'evolversi nel tempo di una qualche grandezza fisica \(\small f(t)\) che rappresentiamo parzialmente in un grafico (v. immagine a sinistra).

Consideriamo due istanti \(\small t_1\) e \(\small t_2 = t_1 + \Delta\,t\) cui corrispondono i valori \(\small f(t_1)\) e \(\small f(t_2)\) della funzione.
La variazione della funzione nell'intervallo \(\small \Delta\,t\), è:

(7) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,f(t) = f(t_2) - f(t_1) \)

tuttavia all'interno dell'intervallo la funzione può variare in maniera anche complessa e non lineare.

Ciò che si suppone qui è di poter approssimare l'andamento della funzione, all'interno dell'intervallo  \(\small \Delta\,t\), con un segmento \(\small \overline{A B}\) di retta di pendenza \(\small \dfrac{\Delta\,f(t)}{\Delta\,t}\).
È evidente che ciò costituisce una approssimazione. Ce ne rendiamo facilmente conto se consideriamo il punto centrale dell'intervallo, che supponiamo sia \(\small t\), e confrontiamo il valore \(\small f(t)\) con il valore che si avrebbe se \(\small f(t)\) fosse lineare in \(\small \Delta\,t\), cioè rappresentata in quell'intervallo proprio dal segmento \(\small \overline{A B}\). In quest'ultimo caso la funzione dovrebbe coincidere con il valore medio tra \(\small f(t_1)\) e \(\small f(t_2)\) che abbiamo indicato con \(\small f_m\):

(8) \( \qquad \qquad \qquad f_m = \dfrac{f(t_1) + f(t_2)}{2} \)

abbiamo così un errore:

(9) \( \qquad \qquad \qquad \varepsilon = f(t) - f_m \)

Tuttavia questo errore può essere reso piccolo diminuendo l'ampiezza di \(\small \Delta t\). In tal caso il segmento approssima sempre meglio la funzione e l'errore \(\small \varepsilon\) tende ad annullarsi (si provi ad avvicinare i punti sulla curva osservando come \(\small f(t)\) e \(\small f_m\) tendano a sovrapporsi).

In via approssimata allora scriviamo:

(10) \( \qquad \qquad \qquad f(t)\,\Delta\,f(t) \approx f_m\,\Delta\,f(t)= \dfrac{f(t_1) + f(t_2)}{2}\, [f(t_2) - f(t_1)]\)

ed eseguendo il prodotto notevole (somma per differenza):

(11) \( \qquad \qquad \qquad f(t)\,\Delta\,f(t) \approx \dfrac{1}{2}\, [f^2(t_2) - f^2(t_1)]\)

Possiamo ora tornare all'esempio iniziale:

(6) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = F\,\Delta\,x = m\,v(t)\,\Delta\,v(t) \)

applicando la (11) otteniamo:

(12) \( \qquad \qquad \qquad \Delta\,L = m\,v(t)\,\Delta\,v(t) \approx \dfrac{1}{2}\,m\,v^2(t_2) - \dfrac{1}{2}\,m\,v^2(t_1)\)

in cui sicuramente  si riconoscerà il teorema delle forze vive.


2 - La somma dei prodotti: \(\small \varSigma\,f(t) \Delta f(t)\)

Ottenuto un risultato come in (11) spesso è necessario eseguire somme di n termini del tipo:

(13) \( \qquad \qquad \qquad \sum_{t_0}^{t_N} {f(t)\,\Delta\,f(t)} \)

valutate a partire da un valore iniziale \(\small t_0\) di \(\small t\) fino ad un valore finale \(\small t_N\), che potremo chiamare ancora \(\small t\) , dato che \(\small t_N\) può rappresentare un istante qualsiasi dell'intervallo considerato.
Eseguendo la somma:

(14) \(\quad \sum_{t_0}^{t_N} {f(t)\,\Delta\,f(t)} \approx \dfrac{1}{2}\,[f^2(t_1)-f^2(t_0)+f^2(t_2)-f^2(t_1)+ f^2(t_3)-f^2(t_2) + ...] \)

notiamo facilmente che tutti i termini intermedi si elidono comparendo con segni alterni.  Avremo allora il risultato (posto \(\small f(t_N)=f(t)\)):

(15) \(\qquad \qquad \qquad \sum_{t_0}^{t_N=t} {f(t)\,\Delta\,f(t)} \approx \dfrac{1}{2}\,[f^2(t)-f^2(t_0)] \)

\(f(t_0)\) è il valore iniziale della funzione, che deve essere noto. Spesso avviene che \(f(t_0)= 0\), il che permette di scrivere il notevole risultato :

(16) \(\qquad \qquad \qquad \sum {f(t)\,\Delta\,f(t)} \approx \dfrac{1}{2}\,f^2(t) \)

che molto frequentemente si presenta nella descrizione matematica di fenomeni fisici, è il precursore concettuale dell'integrale:
\[ \int f(x)\,d\,f(x) = \int f(x)\,f'(x)\,d\,x = \dfrac{1}{2}\,f^2(x) + C \]

ed è quanto volevamo evidenziare con questo modulo.