Radice quadrata di un numero complesso

La radice quadrata di z = u+iv è data da un numero complesso
√z = a+ib tale che
(a + ib)²  = u + iv
Per determinare a e b  basta porre che le parti reali e immaginarie di (a + ib)²
e di u + iv siano rispettivamente uguali:

{	a2− b2  = u	{	a2− v2/4a2 = u
	2ab =  v		b = v/2a

Ricavando b dalla seconda equazione, sostituendo nella prima ed elimnando i denominatori
giungiamo al sistema:

{	4a4 − v2 = 4a2u
	b = v/2a

Riordiniamo la prima equazione del sistema:

4a⁴− 4ua² − v² = 0

essendo un'equazionbe biquadratrica,  poniamo x = a²
con ciò abbiamo l'equazione di secondo grado:

4x²− 4ux − v² = 0

che risolta dà:

x =	4u ± √16u2 + 16v2	=	u  ± √u2 + v2
	8		2

poichè   x e a sono numeri reali, essendo  x = a² , solamente la soluzione positiva deve essere considerata
(u − √u² + v² è sicuramente negativa  perchè u < √u² + v² )
per cui:

x = a2 =	u + √u2 + v2
	2

eleviamo a quadrato la seconda equazione
b² = v²/4a²
e sostituiamo il valore trovato per a:

b2 =	v2
	2(u + √u2 + v2)

razionalizziamo il denominatore:

b2=	v2 (u − √u2 + v2)	=	v2 (u − √u2 + v2)	=	v2 (u âˆ’√u2 + v2)	=	− u + √u2 + v2
	2(u + √u2 + v2)(u − √u2 + v2)		2(u2 − u2  −  v2)		2(  − v2)		2

estraendo la radice quadrata si ottengono i valori cercati di a e b

√z  = a+ib = ±	√	u + √u2 + b2	± i	√	−u + √u2 + b2
		2			2