Autoinduzione in regime sinusoidale    




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Autoinduzione in regime sinusoidale

Sandro Ronca





Sintesi: Discutiamo il fenomeno dell'autoinduzione studiando il comportamento di un induttore ideale (un solenoide privo di resistenza ohmica e quindi senza dissipazioni energetiche) quando viene percorso da una corrente alternata sinusoidale.
Analizziamo i versi delle forze elettromotrici autoindotte e l'andamento della potenza elettrica di tipo reattivo.


1 - Flusso concatenato o autoflusso

Il fenomeno dell'autoinduzione avviene quando un induttore (avvolgimento, bobina, solenoide in particolare, ma in maggiore o minor misura qualsiasi circuito elettrico) è percorso da una corrente variabile nel tempo.
In tal caso l'induttore produce un flusso magnetico \(\small \Phi (t)\) che può essere determinato attraverso la legge di Hopkinson, se è nota la riluttanza magnetica \(\small \mathcal{R} \) del circuito magnetico. Supposto che l'induttore sia composto da N spire percorse dalla corrente i(t), avremo il cosiddetto flusso generato:

(1) \(\qquad \qquad \qquad \Phi (t) = \dfrac{N}{\mathcal{R}}\, i(t)\)

Questo flusso si concatena con le N spire dell'induttore stesso, dando origine al flusso concatenato \( \Phi_c (t)\) detto anche autoflusso:

(2) \(\qquad \qquad \qquad \Phi_c (t) = N\, \Phi (t) = N\, \dfrac{N}{\mathcal{R}}\, i(t) = \dfrac{N^2}{\mathcal{R}}\, i(t)\)

che possiamo scrivere:

(3)\(\qquad \qquad \qquad \Phi_c (t) = L\, i(t)\qquad \qquad L =\dfrac{N^2}{\mathcal{R}} \)

dove L è il coefficiente di autoinduzione, misurato in henry (H).
Per quanto riguarda le dimensioni di L:

\(\qquad [L] = \dfrac{[flusso]}{[corrente]} = \dfrac{[Tensione \times tempo]}{[corrente]} = \dfrac{V\,s}{A} = \Omega\,s = H\)



2 - Autoinduzione e energia del campo magnetico

Carica applet Secondo la legge di Faraday-Lenz ogni flusso variabile nel tempo concatenato con un circuito elettrico dà luogo ad una forza elettromotrice (fem) indotta:

(4) \(\qquad \qquad \qquad e(t) = -\dfrac{d \Phi(t)}{dt}\)

Nel nostro caso però dovremo usare l'autoflusso visto che la variazione di flusso riguarda tutte le spire dello stesso induttore che genera il flusso:

(5) \(\qquad \qquad \qquad e(t) = -\dfrac{d \Phi_c(t)}{dt}\)


e considerando L costante (cosa che non accade per i circuiti ferromagnetici), dalla (3) abbiamo:

(6) \(\qquad \qquad \qquad e(t) = -L\dfrac{d i(t)}{dt}\)


oppure usando le differenze finite:

(5') \(\qquad \qquad \qquad e(t) = -\dfrac{\Delta \Phi_c(t)}{\Delta t}\)

(6') \(\qquad \qquad \qquad e(t) = -L\dfrac{\Delta i(t)}{\Delta t}\)

La fem autoindotta (6) o (6') può essere considerata una conseguenza dei processi di accumulo e restituzione dell'energia magnetica.
In effetti il campo magnetico è una forma di energia. Per formare il campo dell'induttore è necessario che venga compiuto un lavoro. La corrente \( \small i(t)\) è in grado di compiere un lavoro sul sistema induttore soltanto se viene contrastata da una differenza di potenziale o forza contro-elettromotrice (fcem)(1).
Poichè il lavoro \( \small \Delta L\) viene eseguito in un certo intervallo di tempo \( \small \Delta t\), vi è in gioco una potenza \( \small P = \Delta L /\Delta t\). Per i sistemi elettrici la potenza, come è noto, è calcolata moltiplicando la corrente per la differenza di potenziale che rende possibile la circolazione della corrente stessa:

(7) \(\qquad \qquad \qquad p(t) =v(t)\, i(t)\)

Nel caso di un induttore ideale la potenza (7) è totalmente impiegata per la costruzione del campo magnetico. Durante questa fase, istante per istante, la \(\small v(t)\) deve opporsi alla fcem \(\small e(t)\):

(8) \(\qquad \qquad \qquad v(t) = - e(t) = L\dfrac{d i(t)}{dt}\)

(8') \(\qquad \qquad \qquad v(t) = -e(t) = L\dfrac{\Delta i(t)}{\Delta t}\)

dunque:

(9) \(\qquad \qquad \qquad p(t) = L\,\dfrac{d i(t)}{dt}\,i(t)\)

(9') \(\qquad \qquad \qquad p(t) = L\,\dfrac{\Delta i(t)}{\Delta t}\,i(t)\)

che possiamo scrivere come differenziale dell'energia dW:

(10) \(\qquad \qquad \qquad dW = p(t)\,dt = L\,i(t)\,d i(t)\)

o come differenza finita:

(10') \(\qquad \qquad \qquad \Delta W = p(t)\,\Delta t = L\,i(t)\,\Delta i(t)\)

integrando la (10):

(11) \(\qquad \qquad \qquad W(t) = \int p(t)\,dt = L\int i(t)\,d i(t)= \dfrac{1}{2}\,L\,i^2(t)\)

o, se si lavora con gli intervalli finiti, sommando i termini (10'):

(11') \(\qquad \qquad \qquad W(t) = \sum p(t)\,\Delta t = L \sum i(t)\,\Delta i(t)\)

Si può dimostrare che si ottiene ancora:

(11'') \(\qquad \qquad \qquad W(t) = L \sum i(t)\,\Delta i(t) = \dfrac{1}{2}\,L\,i^2(t)\)



3 - Autoinduzione in regime sinusoidale

Carica applet Supponiamo ora che l'induttore sia attraversato da una corrente alternata sinusoidale:

(12) \(\qquad \qquad \qquad i(t) = I_M\,sin(\omega t)\)

prodotta da un generatore di corrente che impone nel circuito una corrente di ampiezza costante indipendente dal "carico", in questo caso il valore dell'induttanza \(L\).
Osservando la lavagna a sinistra si nota che durante il 1° quarto di periodo la fem \(e(t)\) si oppone alla corrente. In effetti in questa fase il generatore di corrente fornisce l'energia necessaria alla formazione del campo magnetico e deve quindi vincere la fem \(e(t)\), altrimenti non potrebbe eseguire il lavoro necessario. Notiamo anche che la fem \(e(t)\) ha un verso tale da mettere in circolazione una ipotetica corrente \(i_{ind}\) (2) che produrrebbe un flusso magnetico che contrasta il flusso prodotto da \(i(t)\), coerentemente con quanto espresso dalla legge di Lenz:

"i fenomeni di induzione elettromagnetica avvengono sempre con modalità tali da contrastare la causa che li ha generati".

In luogo del generatore di corrente, supponiamo ora che il sistema sia alimentato da un generatore di tensione v(t), che fornisce una differenza di potenziale alternata sinusoidale:

(12') \(\qquad \qquad \qquad v(t) = V_M\,sin(\omega t)\)

In questa situazione la corrente è spinta dal generatore il quale fornisce anche la potenza e l'energia necessaria. L'induttore si comporta da utilizzatore, cioè assorbe potenza, il che è testimoniato dal fatto che il polo positivo istantaneo è sul terminale di ingresso della corrente. La differenza di potenziale indotta \(e(t)\) è, a tutti gli effetti, una forza contro-elettromotrice.
Notiamo il fatto importante che la tensione impressa \(v(t)\) dal generatore è rigorosamente uguale ed opposta alla fem autoindotta \(e(t)\).

Nel 2° quarto di periodo nel caso del generatore di corrente \(e(t)\) è concorde con la corrente \(i(t)\) che sta diminuendo. Questo significa che diminuisce anche l'intensità del campo magnetico e quindi l'entità dell'energia accumulata. L'energia liberata non può però svanire nel nulla: essa viene restituita al generatore (3). La ddp \(v(t)\) impressa dal generatore di tensione è opposta alla corrente il che energeticamente significa che è il generatore ad assorbire potenza elettrica, comportandosi piuttosto da utilizzatore. La funzione di generatore è assunta dall'induttore e la \(e(t)\) diviene forza elettromotrice. Come in tutti i generatori la polarità positiva istantanea è sul terminale di uscita della corrente.

A versi invertiti, nel 3° quarto di periodo si riproduce la situazione del primo quarto. Il generatore di tensione \(v(t)\) spinge la corrente (è concorde con essa) fornendo la potenza per il campo magnetico, che avrà ora verso opposto rispetto a prima. La fcem \(e(t)\) si oppone e l'induttore funge da utilizzatore.

Nel 4° quarto di periodo, è riproposta, sempre a versi invertiti, la situazione sel 2° quarto. L'induttore assume il ruolo di generatore, il generatore elettrico di tensione assorbe potenza grazie al fatto che \(v(t)\) si oppone alla corrente, l'energia passa dal campo magnetico dell'induttore al generatore elettrico.
Concludendo, è possibile affermare, osservando i versi delle fem, delle correnti e l'andamento della potenza (il segno della sinusoide), che la potenza, che chiameremo reattiva, è diretta verso l'utilizzatore, nei quarti di periodo in cui è positiva, mentre torna al generatore quando è negativa.


  Attività: usiamo la simulazione


4 - Autoinduzione: un po' di matematica

Se la corrente \(\small i(t)\) è sinusoidale \(\small i(t) = I_M\,sin(\omega t)\), la \(\small e(t)\) si ottiene derivando rispetto al tempo come stabilito dalla (6):

(13) \(\ \ e(t) = -L\, \dfrac{d\,i(t)}{dt} = -L\,I_M\,\dfrac{d\, sin(\omega t)}{dt} =- \omega\,L\,I_M\,cos(\omega t) = \omega\,L\,I_M\,[-cos(\omega t)] \)

Mentre l'andamento di \(\small i(t)\) è di tipo \(\small sin(\omega t)\), quello di \(\small e(t)\) è di tipo:

\(\qquad \qquad \qquad \qquad -cos(\omega t) = sin( \omega t -\dfrac{\pi}{2}) \)

il che significa che \(\small e(t)\) è in ritardo rispetto a \(\small i(t)\) di un quarto di periodo : come si dice, \( \small e(t)\) è in quadratura in ritardo rispetto a \(\small i(t)\).
La tensione impressa dal generatore è sempre opposta alla fem indotta:

(14) \(\qquad \qquad \qquad v(t)= -e(t) = \omega\,L\,I_M\,cos(\omega t)\)

ovvero:

(15) \(\qquad \qquad \qquad v(t)= \omega\,L\,I_M\,sin( \omega t +\dfrac{\pi}{2})\)

la tensione impressa \(\small v(t)\) è in quadratura in anticipo sulla corrente \(\small i(t)\).


5 - Potenza reattiva

Se ricordiamo che \(\small p(t) = v(t)\,i(t)\) dalle formule (12) e (15):

(16) \(\qquad \quad p(t)= \omega\,L\,I_M\,cos(\omega t)\,I_M\,sin(\omega t) = \omega\,L\,I^2_M\,cos(\omega t)\,sin(\omega t) \)

da cui vediamo che la potenza dipende da \(\small cos(\omega t)\,sin(\omega t) = \dfrac{1}{2} sin(2 \,\omega t)\)
e quindi:

(17) \(\qquad \qquad \qquad \qquad p(t)= \dfrac{1}{2} \omega\,L\,I^2_M\,sin(2\,\omega t) \)

ha andamento sinusoidale, con frequenza doppia rispetto a tensione e corrente e ampiezza \( \small \dfrac{1}{2}\,\omega\,L\, I^2_M\). Nel 1° quarto di periodo abbiamo una potenza positiva, che interpretiamo come  flusso di energia dal generatore elettrico all'utilizzatore.
Nel 2° quarto di periodo la potenza è negativa: l'energia accumulata dall'induttore ritorna al generatore.
Nel 3° quarto di periodo la potenza torna ad essere positiva, infatti la corrente trasporta l'energia per costruire il campo magnetico con direzione spaziale opposta rispetto ai periodi precedenti e infine nel 4° quarto di periodo il campo progressivamente si annulla, come nel secondo quarto. L'energia viene restituita al generatore e la potenza è negativa.
Questa potenza che viene alternativamente scambiata tra generatore e induttore è detta potenza reattiva. Questa potenza con la relativa energia è indispensabile per il funzionamento del sistema (costruzione del campo magnetico), ma è interna ad esso . In altre parole non è possibile sfruttare questa potenza per far eseguire un lavoro al sistema.


Approfondisci:

Approfondimento  La potenza elettrica in corrente alternata sinusoidale 



6 - Versi delle fem autoindotte e convenzione del punto

La questione dei versi da attribuire alle forze elettromotrici autoindotte  dà spesso luogo a confusione e difficoltà di comprensione, dato che vengono adottate diverse e non sempre giustificate convenzioni.
Spesso si vede attribuire alla fem autoindotta lo stesso verso della corrente, il che porta erroneamente ad interpretare la fem del generatore e quella autoindotta come concordi dal punto di vista della corrente nel circuito.
Da quanto esposto nei precedenti paragrafi, dovrebbe essere chiaro che l'induttore si comporta alternativamente sia da generatore che da utilizzatore e che la fem autoindotta è sempre opposta alla fem impressa dal generatore di tensione.
Allora la scelta più  logica dei versi appare quella che è stata adotta nella lavagna. Essa è quella che rispetta  gli eventi che si succedono e i relativi scambi energetici.
Abbiamo adottato anche la convenzione del punto per individuare un verso positivo della corrente e delle grandezze ad essa associate (per esempio il flusso magnetico). Consideriamo positiva una corrente che entri nell'induttore dal terminale contrassegnato dal punto  e una fem impressa che spinga la corrente in tal senso (precisiamo che \(\small e(t)\) non è una fem impressa).


Rev. 06/01/2021


Testi dell'autore e approfondimenti

   Correnti Alternate

    Sistemi Trifase

   Esercizi di Macchine Elettriche Libreriauniversitaria.it


(1) Questo accade ad ogni sistema fisico che permetta l'accumulo di energia sotto forma potenziale. Ad esempio, se si vuole fornire energia potenziale ad una massa \(\small m\) sollevandola ad una certa altezza \(\small h\) dal suolo, si deve compiere un lavoro \(\small \vec{F} \cdot \vec{h}\). La forza \(\small \vec{F} = m \vec{g}\) deve vincere la forza peso \( \small \vec{P}= - m \vec{g}\) che si oppone ad essa.  

(2) È opportuno ribadire che \( \small i_{ind}\) non è realmente presente nel circuito. Essa ha solo lo scopo di mettere in evidenza l'effetto di opposizione alle variazioni di \(\small i(t)\) e conseguentemente del flusso \( \small \Phi (t) \).

(3) Un generatore elettrico assorbe potenza, e quindi energia, quando la tensione presente sui terminali del generatore si oppone alla corrente erogata. Mentre ciò risulta relativamente semplice da comprendere per un generatore di tensione, lo è di meno per un generatore di corrente.
La differenza di potenziale (tensione) ai terminali di un generatore di corrente si forma in base al carico elettrico ad esso collegato e coincide con la ddp che si ha ai terminali del carico stesso.
Nel nostro caso la tensione ai capi del generatore di corrente è esattamente coincidente con la \(\small e(t)\) autoindotta presente sull'induttore. Va qui notato, altrimenti non si può comprendere il senso di quanto detto, che il grafico rappresenta la \(\small e(t)\), "vista dall'induttore", cioè secondo i versi (positivo o negativo) stabiliti per l'induttore quindi una fem "negativa" per l'induttore (freccia verso l'alto) sarà invece "positiva" se considerata dal punto di vista del generatore.