Lezione
PILLOLE DI MATEMATICA
Appunti e dimostrazioni brevi
Sandro Ronca

Valutazione della somma f(t)⋅Δf(t) per una funzione f(t)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Capita spesso nelle discipline scientifiche di dover spiegare concetti per i quali è essenziale ricorrere alle variazioni di grandezze espresse come funzione di altra variabile.

Quando  non si vuole o non si può ricorrere al calcolo differenziale, l'uso delle relazioni o equazioni  tra differenze finite (quelle grandezze precedute dal simbolo Δ, che indica appunto una loro variazione), costituisce una valida alternativa,  che  può favorire la comprensione grazie ad una maggiore accettabilità o, per così dire, concretezza di queste grandezze  e delle manipolazioni algebriche che le coinvolgono.

Tuttavia le differenze finite vanno manipolate con una certa accortezza, per poter raggiungere risutati corretti (sebbene approssimati) e coerenti.

Qui ci occupiamo, data una funzione f(t) della variabile t  di ricavare una relazione interessante per il prodotto della funzione f(t)  per la sua stessa variazione attorno a t,  Δf(t), e cioè :

 (1)           f(t)⋅Δf(t)

Si ha spesso a che fare con prodotti di questo tipo in Fisica. Immaginiamo ad esempio di dover calcolare il lavoro elementare di una forza costante F,  che sposti una massa m  per una lunghezza Δx:

(2)                ΔL = F⋅ Δx

Con alcuni veloci passaggi abbiamo:

(3)                F= m⋅a        a=Δv/Δt        F= m⋅Δv/Δt

Troviamo ora il lavoro:

(4)
ΔL  = F⋅Δx  =  m Δv  Δx

Δt 
 
ma  Δx = v⋅Δt, e dunque:


(5)
ΔL  = F⋅Δx  =  m Δv  v⋅Δt

Δt 

da cui evidentement:e, semplificando Δt:

(6)         ΔL  = F⋅Δx  =  m⋅v⋅ Δv    

Diventa quindi interessante vedere se si può ricavare da (6) un'espressione in cui non compaia più la variazione  Δv

Evidentemente, posto v= f(t) e Δv=Δf(t), ci  troviamo proprio in  un caso come quello proposto all'inizio.

Per fissare le idee supponiamo che f(t) rappresenti l'evolversi nel tempo t di una qualche grandezza fisica f(t)  che rappresentiamo parzialmente in un grafico (v. applet).

Consideriamo due istanti t1 e t2 = t1 + Δt cui corrispondono i valori  f(t1) e f(t2) della funzione.
 La variazione della funzione nell'intervallo Δt, è:

(7)         Δf(t) =  f(t2) − f(t1)

tuttavia all'interno dell'intervallo la funzione può variare in maniera anche complessa e non lineare.

Ciò che si suppone qui è di poter approssimare l'andamento della funzione, all'interno dell'intervallo  Δt, con un segmento di retta di pendenza  Δf(t)/Δt.
È evidente che ciò costituisce una approssimazione. Ce ne rendiamo facilmente conto se consideriamo il punto centrale dell'intervallo, che supponiamo sia t, e confrontiamo il valore f(t) con il valore che si avrebbe se f(t) fosse lineare in Δt. In quest'ultimo caso la funzione dovrebbe coincidere con il valore medio di  f(t1) e f(t2) che abbiamo indicato con fm:

(8)
fm  =  f(t1) + f(t2)  


abbiamo così un errore:

(9)        ε = f(t) − fm
 
Tuttavia questo errore può essere reso piccolo diminuendo l'ampiezza di Δt. In tal caso il segmento approssima sempre meglio la funzione e l'errore ε tende ad annullarsi (si provi ad avvicinare i punti sulla curva e si osservi come f(t) e fm tendano a sovrapporsi).

In via approssimata allora scriviamo:
 

(10)
f(t)⋅Δf(t) ≈  fm⋅Δf(t) =  f(t1) + f(t2)  [ f(t2) − f(t1)]


ed eseguendo il prodotto notevole (somma per differenza):


(11)
f(t)⋅Δf(t) ≈   1  [ f 2(t2) − f 2(t1)]


Possiamo ora tornare all'esempio iniziale:

(6)         ΔL  = F⋅Δx  =  m⋅v⋅ Δv    

applicando la (11) otteniamo:

(12)
ΔL  = m⋅v⋅ Δv  ≈   1  m⋅v 2(t2)  − 1  m⋅v 2(t1)


2 2

in cui sicuramente  si riconoscerà il teorema delle forze vive.

Ottenuto un  risultato come (11)  spesso è  necessario eseguire somme di n termini del tipo:    

(13)        ∑ f(t)⋅Δf(t)  

valutate a partire da un valore iniziale t0 di  t  fino ad un valore finale tN,  che potremo chiamare ancora t , dato che tN può rappresentare  un istante qualsiasi dell'intervallo considerato.
Eseguendo la somma:

∑ f(t)⋅Δf(t) ≈ 1/2 [ f 2(t1) − f 2(t0) + f 2(t2) − f 2(t1) + f 2(t3) − f 2(t2)+ ...]

notiamo facilmente che tutti i termini intermedi si elidono comparendo con segni alterni.  Avremo allora il risultato:

(15)
∑ f(t)⋅Δf(t) ≈   1  [ f 2(t) − f 2(t0)]



f(t0) è il valore iniziale della funzione, che deve essere noto. Spesso avviene che  f(t0) = 0 , il che permette di scrivere il notevole risultato :

(16)
∑ f(t)⋅Δf(t) ≈   1   f 2(t) 






(c) 2015 - Sandro Ronca - Tutti i diritti riservati - Note legali e d'uso