Lezione   I numeri complessi    
Sandro Ronca

Capitolo 2 


FORMULA DI EULERO. POTENZE E  LOGARITMI COMPLESSI.


Sintesi: La formula di Eulero-Cotes, un 'gioello matematico' secondo il nobel Richard Feynman, ha un ruolo fondamentale in molte appplicazioni della fisica: dallo studio delle onde, alla meccanica quantistica, alla risoluzione delle equazioni differenziali. Vedremo anche come definirel'elevamento a potenza con esponente complesso, il logaritmo e analizzeremo le interessanti proprietà di queste entità.

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2.1 - Il numero complesso: cos α + i sin α

La particolare importanza che questo numero ricopre nella rappresentazione dei numeri complessi , ci induce a rivedere e ad approfondire alcune sue importanti proprietà.
 
2.1.1 -  Altre proprietà

Carica Argand 4Torniamo dunque sul numero  complesso cos α + i sin α. 
Come abbiamo visto nel 1° capitolo, esso consente di rappresentare qualsiasi numero complesso z = rz (cos α + i sin α), se moltiplicato per il modulo rz = |z|.
Ma esistono altri aspetti interessanti di questo oggetto che vale la pena di indagare.
Per comodità di rappresentazione poniamo  uα =  cos α + i sin α.
Usiamo a questo scopo la lettera u che ci ricorda unità, essendo infatti unitario il modulo:
|uα|2 = cos2α + sin2α =1, e l'indice α per evidenziare l'argomento .
L'argomento di uα, indicato con Arg(uα) è l'angolo α, misurato in radianti. Esso può assumere tutti i valori tra 0 e 2kπ, con  k ∈ `ZZ`.  Spesso, per  eliminare l'ambiguità dovuta alla periodicità delle funzioni seno e coseno, lo si limita all'intervallo [ − π, + π ].  In questo caso si indica con arg(uα), e viene detto determinazione o valore principale dell'argomento.
Il complesso coniugato di uα è evidentemente: u*α =  cos α − i sin α, ma la cosa interessante è che esso coincide con il reciproco di uα:

1/uα = `1/(cos alpha + i sin alpha) = (cos alpha - i sin alpha)/((cos alpha + i sin alpha)(cos alpha - i sin alpha))`
           = `(cos alpha - i sin alpha)/((cos^2alpha + sin^2 alpha)) = cos alpha - i sin alpha`
Quindi:
 
 u*α  =  1/uα

La formula di  De Moivre   (cos α + i sin α)n =  cos nα + i sin nα  (par. 1.4.3 - 1° capitolo) consente di calcolare facilmente la potenza ennesima di uα.
Qui si evidenzia un comportamento singolare di Arg(uα), reso più evidente dalla rappresentazione in forma polare uα = 1∠α:

uαn =  (1∠α)n =  1n∠nα = 1∠α+α+α...  = 1`sum_(i=1)^n`αi
1∠α ⋅1∠α ⋅1∠α ⋅... =  1∠α+α+α...    (n volte)

In questo contesto, Arg(uα) sembra comportarsi in modo simile ad un logaritmo, nel senso che, da un prodotto di n grandezze dipendenti da α si ottiene una grandezza risultante, che dipende dalla  somma di n addendi α. Questo non può non far pensare, in qualche modo, ai  logaritmi, che godono proprio della proprietà di convertire la somma in prodotto (1):
Il legame tra α = Arg(uα) e i logaritmi di numeri complessi effettivamente esiste, ma non è così semplice ed evidente come nel caso dei numeri reali. Lo approfondiremo nel seguito.


2.1.2 - Prodotto uαuβ

La formula di De Moivre  risolve il caso particolare del calcolo di  potenze di uα e cioè del prodotto di uα per se stesso n volte.  Nel capitolo 1° abbiamo dimostrato che, in generale, il prodotto di due numeri complessi comporta il prodotto dei moduli e la somma degli argomenti:

uαuβ1∠α ⋅1∠β  =  1∠α+β
 
Pensiamo ad α e β come a due variabili e, per rafforzare questa idea, diamo a loro i nomi x e y:
Scriviamo allora  u(x) = cos x + i sin x  e  u(y) = cos y + i sin y, mettendo in evidenza la dipendenza  dagli orgomenti  x e y, che ovviamente rappresentano  angoli. 
Troviamo allora che:

u(x)⋅u(y) = u(x + y)

Tra le fuzioni reali di variabile reale che conosciamo, esiste una funzione dal comportamento simile: la funzione esponenziale ax:

axay  =  ax+y

la domanda che a questo punto sorge spontanea è: "esiste forse una qualche correlazione tra cos x + i sin x e la funzione esponenziale?"
Prima di dare una risposta , occupiamoci di un'altra importante caratteristica di  uα.


2.1.3 - Derivata di  u(x) = cos x + i sin x rispetto all'argomento

Per  una migliore  comprensibilità, aiutiamoci anche qui con la più familiare notazione funzionale  u(x) 
Calcoliamo quindi la derivata u'(x) rispetto ad x applicando le normali regole di derivazione:

`u'(x)  =  d/dx(cos x + i sin x) = (d cos x)/dx + i (d sin x)/ dx  =`
          `=   −sin x + i cos x  `

dopo aver sostituito −1 con i2, per cui  −sin x  diviene  i2 sin x,  raccogliamo i:

`d/dx(cos x + i sin x) =  i^2 sin x + i cos x = i (cos x + i sin x)`

e infine:

u'(x) = iu(x)

Dunque eseguire la derivata di u rispetto al suo argomento  equivale a moltiplicare u per l'unità immaginaria, ottenendo iu.
 Dal punto di vista vettoriale sappiamo che  ciò significa ruotare u  di 90° in senso antiorario.
D'altra parte se deriviamo  ulteriormente, avremo:

`u''(x)  =  (d^2 u(x) )/dx^2  =  (d u'(x))/dx  = i (d u(x))/dx = i^2 u(x)`

e, in generale:

`u^((n)) (x)  =  (d^n u(x) )/dx^n  =   i^n u(x)`

la derivata di ordine n di u(x) è data da u(x) moltiplicato per l'ennesima potenza dell'unità immaginaria.
Questo comportamento è sorprendentemente simile a quello della funzione esponenziale  ecx:

`(d^n e^(cx)) /dx^n  =  c^n e^(cx)`     con c e x  numeri reali, n = 1,2,3...

Se fosse possibile porre c= i, il che comporta di poter definire un esponenziale con esponente immaginario ix, la corrispondenza sarebbe completa.



2.2 - LA FORMULA DI EULERO


2.2.1 - Derivazione della  formula di Eulero-Cotes

Osservando le proprietà di  uα =  cos α + i sin α abbiamo avuto diversi segnali che ci inducono a immaginare l'esistenza di una profonda relazione tra di esso e la funzione esponenziale.
Riassumiamo questi indizi:
  1. l'argomento α tende a comportarsi come un logaritmo e quindi come un esponente;
  2. il prodotto segue le regole tipiche degli esponenziali;
  3. la derivazione dà un risultato simile a quello ottenuto derivando l'esponenziale ecx.
Vediamo allora se è possibile dimostrare in modo soddisfacente l'esistenza di questa relazione.

Nel  paragrafo 1.5.5 del 1° capitolo abbiamo trovato l'espressione delle radici n-sime di un numero complesso:
uα1/n  = ( cos α + 2kπ  +  i sin α + 2kπ )     k = 0, 1, 2, ... n − 1


n n
  limitandoci a k = 0  determiniamo  uα1/n (usiamo la notazione vettoriale uα = `vec u_alpha`):

`vec {u_alpha} ^(1/n)   =   cos(α/n) + i sin(α/n) `

Elevando  alla n-sima potenza riotteniamo uα, essendo l'elevamento a potenza n-sima  operazione inversa rispetto all'estrazione di radice n-sima:

`vec (u_alpha) = (vec (u_alpha)^(1/n))^n   =   [cos(α/n) + i sin(α/n)]^n   =   cos(nα/n) + i sin(nα/n) = cos α + i sin α `

Quindi, per ogni  n `in  ZZ `  è sempre verificato che:

`[cos (α/n) + i sin(α/n)]^n  =   cos α + i sin α `

 Immaginiamo ora di aumentare il valore di n in modo che assuma valori sempre più grandi.
L'operazione matematica è il passaggio al limite per  n tendente ad infinito:

`lim_(n->oo) [cos (α/n) + i sin (α/n)]^n  =   cosα + i sin α `

In tal caso  `α/n`  tende a diventare molto piccolo, per cui:

`lim_(n->oo) cos (α/n) = 1 `   e   `lim_(n->oo) sin (α/n) = α/n `

Allora  diviene possibile  sostituire  

`lim_(n->oo) [cos(α/n) + i sin(α/n)]^n `  con   `lim_(n->oo) (1 + (iα)/n)^n `

Come sappiamo la definizione di esponenziale è:

`e^ x  =  lim_(n->oo) (1 + (x)/n)^n `

 e se poniamo x =  iα abbiamo la definizione di esponenziale di argomento immaginario:

`e^{iα}  =  lim_(n->oo) (1 + (iα)/n)^n `

Così possiamo finalmente scrivere la  formula di Eulero - Cotes(2):

e = cos α + i sin α

Come abbiamo potuto verificare nei precedenti paragrafi, tutte le proprietà tipiche della funzione esponenziale sono verificate.
Questa  formula  costituisce un importante anello di congiunzione tra algebra e geometria. Le sue implicazioni sono notevolissime in tutti i campi della scienza.
Le sue proprietà sono particolarmente utili nello studio delle oscillazioni e delle onde.

Simulazione exp(ia)La lavagna consente di evidenziare il comportamento del numero complesso ` (1 + (iα)/n)^n ` al variare del parametro n.
Sono visualizzabili anche tutti i prodotti  (come punti sul piano di Gauss) da 1 a n-1.
È interessante notare come, al crescere di n, tutti i punti tendano a sistemarsi sulla circonferenza unitaria e pn tenda ad u. La simulazione è impostata inizialmente con  

α = π   approssimando così, al crescere di n, l'identità di Eulero  e = −1  (vedere paragrafo 2.2.3). È ovviamente possibile variare α, muovendo il punto sulla circonferenza.
[ Consiglio: seleziona con il mouse il punto n sullo slider e poi muovi con i tasti freccia ← → della tastiera ]

Considerando il complesso coniugato di uα:
u*α  = cos α − i sin α
si giunge alla:
`e^{iα}  =  lim_(n->oo) (1 - (iα)/n)^n  = cos α − i sin α`
e quindi:
e = cos α  i sin α

Dalle formule precedenti si ricava  immediatamente che:
 
`(e^{iα} + e^{−iα})/2`  = cos α    e     `(e^{iα} − e^{−iα})/(2i)`  = sin  α 

Riassumiamo due proprietà fondamentali  dell'esponenziale di esponente immaginario:

e⋅ e  =  e iα +i β  =  e i(α+β)

d(n)e  = i ne

d αn


2.2.2 -  L'operatore di rotazione e

Se  α = π/2 abbiamo:

` e^{i  (pi )/2}` =  cos `(pi )/2` + i sin `(pi )/2` = 0 + i 1 = i

` e^{i  (pi )/2}` = i

Quest'ultima formula ci conferma che `e^{i  (pi )/2}`  può essere interpretato come un operatore di rotazione di  `(pi )/2`.
Moltiplicare qualsiasi numero complesso per `e^{i  (pi )/2}` equivale  a moltiplicarlo per e quindi a incrementare l'argomento di  `(pi )/2` radianti. Ciò significa ruotare di 90° antiorari il vettore rappresentativo.
Allo stesso modo, e più in generale,    e  produrrà una rotazione di α radianti:
se β = Arg(z) ,  ez avrà come argomento α + β.


2.2.3 -  L'dentità di Eulero

Se poniamo α = π  abbiamo  cos π = −1,  sin  π = 0 da cui la celebre identità di Eulero,
e = −1, che  possiamo scrivere nella forma:

e + 1 = 0

Essa rappresenta una specie di totem della conoscenza matematica poichè contiene i cinque numeri fondamentali:

0           lo zero, senza il quale la moderna notazione posizionale non sarebbe possibile;
1            il primo numero della successione dei numeri  naturali;
π          il rapporto tra circonferenza e diametro;
e            il numero di  nepero, base dei logaritmi naturali;
i             l'unità immaginaria;
+,x,=       l
e operazioni fondamentali prodotto, somma  e il segno di uguaglianza;

inoltre essa pone in relazione la Geometria e l'Algebra, attraverso
π(3),  numero fondamentale per la geometria euclidea, e unità immaginaria.


2.2.4 - Forma esponenziale dei numeri complessi

Le considerazioni precedenti ci consentono di individuare una nuova forma per i numeri complessi: la forma esponenziale.
Se è vero che ogni numero complesso  può essere espresso nella forma  
z
= rz (cos α + i sin α), abbiamo quindi l'espressione di un numero complesso in forma esponenziale:

= rz ·e

dove rz è il modulo del numero complesso e α il suo argomento.
Il complesso coniugato è:

z* = rz ·e −iα

Notiamo che z·z*  =  rz2· e i(α−α) = rz2· e i0 = rz2· 1 = rz2
Dove ovviamente si è posto e i0 1


2.2.5 - Operazioni con numeri complessi in forma  esponenziale 

Detto w = rw e l' operazione di moltiplicazione diviene:

z·w  = rz ·e · rw ·e =   rz · rw ·e i (α+β)

Il reciproco di un numero comnplesso, ad esempio w è dato da:

w-1 =   `1 / (r_w cdot e^{i beta})` = `1/r_w cdot e^{-i beta} `

di conseguenza la divisione tra numeri complessi in forma esponenziale:

z/w =  `r_z/r_w cdot e^{i  (alpha-beta)} `

L' elevamento alla potenza n-sima , n   `ZZ`, è ovvia conseguenza della moltiplicazione:

zn = rzn ·e inα

Da  zn = rzn ·e inα  si può facilmente ricavare la formula di De Moivre.

Per quanto riguarda l'estrazione di radice n-sima :

z1/n `rootn(r_z} cdot e^{i  (alpha+2k pi )/n}  \ \ \ k = 0,1,..., n-1 `

Ora risulterà anche chiaro che, tutto sommato, la forma polare può essere pensata come una forma sintetica della notazione esponenziale, in cui si mettono in evidenza solamente modulo e argomento:

z = rz ·e    ⇔    z = rz ∠α

trovano quindi giustificazione  le modalità di esecuzione delle operazioni in forma polare nelle analoghe operazioni in forma esponenziale.


2.3 - POTENZE E LOGARITMI COMPLESSI


2.3.1 - Potenze  e  logaritmi complessi

Ci poniamo ora il problema di definire  la potenza di base  ed esponente complessi.
Detti  allora  w = x + i y  e   s = c + i d  due numeri complessi, vorremmo cercare di dare un senso all'operazione:   ws  = (x + i y)c + i d
Sappiamo bene che, in campo reale, elevare un numero  a alla potenza intera  n significa semplicemente moltiplicare a per se stesso  n volte.
Non volendo limitarci ai soli esponenti interi, se intendiamo elevare a alla potenza q, con q razionale,  possiamo ricordare che  q può essere espresso come rapporto di numeri interi m e n, primi fra loro,  con n ≠0: q = m/n.  Inoltre dovremo porre a>0 per evitare problemi se n è pari.   Allora  `a^q  =  a^(m/n)  =  (a^m)^(1/n)  = root(n){a^m} ` e anche in questo caso abbiamo una risposta semplice.
Qualche problema in più si presenta se anche l'esponente è un numero reale irrazionale o trascendente: ad esempio, come possiamo ottenere il valore di  `a^sqrt(2)` =  a1.41421... ?
Questo è principalmente un problema computazionale, la cui difficoltà dipende dal livello di precisione che vogliamo ottenere. Poichè sappiamo calcolare una potenza con esponente razionale possiamo approssimare  `a^sqrt(2)` ≈   `a^(  14/10)` =  `root(10\)(a^(14))`. Per una maggiore precisione vorremmo sicuramente calcolare `a^sqrt(2)` ≈   `a^( 141/100)` =  `root(1 00  )(a^( 141))`, ma ci rendiamo immediatamente conto che l'impegno richiesto dal calcolo (non possedendo sofisticati strumenti come quelli oggi disponibili) diventa rapidamente insostenibile.  Proprio per tale motivo sono stati inventati i logaritmi.


2.3.2 - I logaritmi

I logaritmi, introdotti dal matematico e fisico scozzese  John Napier (Nepero) nel 1614, hanno ricoperto, fino a tempi relativamente recenti, il ruolo di strumenti di calcolo.
Perchè? Essenzialmente perchè attraverso di essi si possono trasformare prodotti in somme, potenze in prodotti ed estrazioni di radice in divisioni.
Concettualmente  l'importanza del logaritmo va comunque ben oltre la facilitazione nel calcolo che esso può introdurre.
Il logaritmo in base b di un numero x  è l'esponente a cui si deve elevare b per ottenere x e quindi se  x = bu, allora u = logb(x),
cioè u (l'esponente) è il logaritmo in base b di x e quindi   x = blogb(x).
Inteso come funzione, il logaritmo  è la funzione inversa dell'esponenziale: logb(bx) = x
Le proprietà che rendono i logaritmi un così potente strumento di calcolo sono le seguenti:

I logb(x·y) =  logb(x) + logb(y) trasforma un prodotto in somma  (1) (1' )
II logb(x/y) =  logb(x) − logb(y trasforma un quoziente in differenza
III logb(xy) =  y⋅logb(x)   trasforma una potenza in prodotto (y reale) (4)
IV logb(`x^(1/y)`) =`1/y` logb(x) trasforma l'estrazione di radice in divisione (y reale)

Come è noto la base normalmente usata per i logaritmi è il numero di nepero  e = 2.718281828459...
Il logaritmo in base e viene correntemente indicato con ln ed è chiamato logaritmo naturale, questo perchè la base e si rivela essere la base più conveniente per il calcolo dei logaritmi.
I logaritmi di Briggs usano la base 10. Essi sono  indicati col simbolo log sottintendendo la base, quindi log(x) significa log10(x).


2.3.3 - Il  logaritmo complesso

La formula di Eulero ci permette di scrivere qualsiasi numero complesso nella forma:

z = rz · e iα+2kiπ          k   `ZZ`

se, per estensione, applichiamo le definizioni di logaritmo e di esponenziale usate in campo reale e abbiamo: z = e w  allora w è il logaritmo naturale complesso di z:
w = ln(z) = ln(rz · e ) = ln(rz)  + ln(e )        [proprietà I dei logaritmi]

ma ln(e ) = e quindi:

w = ln(z) = ln(rz · e ) = ln(rz)  + 

Osserviamo che la parte immaginaria del logaritmo è costituita proprio dall'argomento α del numero stesso. Ma, come sopra evidenziato nella rappresentazione esponenziale, qualsiasi  incremento (o decremento) di multipli di 2π radianti all'argomento rappresenterà lo stesso numero.
Tale ambiguità si riflette anche sul logaritmo per cui (usiamo  Lin luogo di  ln, ln(rz ) è chiaramente il logaritmo naturale del numero reale rz ):

w = Ln(z=ln(rz ) + i Arg(z)  = ln(rz)  + i(α +2kπ)      k   `ZZ`

se usiamo nella definizione di logaritmo la determinazione principale dell'argomento  α = arg(z)  ( −π <  α < π )
scriveremo:
 
w = ln(z) =  ln(rz ) + i arg(z)  = ln(rz)  + iα   con  πα < π

Dobbiamo ancora dire qualcosa sull'esponenziale di un numero complesso, supponiamo  w = x + i y

e w  e x + i ye · e i ye · (cos y + i sin y)

Si puo dimostrare (5) che ciò equivale a:

`e^ vec{w}  =  lim_(n->oo) (1 + (x+ iy)/n)^n   =  lim_(n->oo) (1 + vec{w}/n)^n`

dove abbiamo usato la notazione vettoriale per w.


2.3.4 - L' elevamento a potenza complessa

Per  definire ws, usando la notazione 'a un piano' exp(w) =  e w per l'esponenziale e, per estensione, la proprietà III dei logaritmi, possiamo scrivere:

ws = exp(ln(ws)) = exp(s·ln(w))  =   s·ln(w)

Tuttavia le operazioni che coinvolgono i logaritmi complessi  richiedono molta cautela proprio per la molteplicità dei valori che li caratterizza.
Ad esempio mentre la relazione  

e
ln(w) = w = r
∠β

è sempre vera:

eln(w) = eln(r) + iβ = eln(r) eiβ = r eiβ = w

Così generalmente non accade per  ln( ew) = w

e w  e · e i y

 ln( ew) =  ln( ex) + ln(e i y) = x + i (y + 2kπ)      k   `ZZ`

Libri, ebook

Rev. 02/05/2015



(1)  Infatti se u  = logb(x) e v  = logb(y), allora bu = x e bv = y. Se p = logb(x·y), bp =x·y. Allora potremo scrivere
bp =
bu·bv, ma per le proprietà delle potenze p = u +v, da cui logb(x·y) =  logb(x) + logb(y) . (1' )

(2)
 
Eulero (1707 -1783) pubblicò  questa formula nella 'Introductio Analysin Infinitorum' del  1748, ma essa era nota a De Moivre (1667-1754) e, in una  forma equivalente a ln(cos α + i sin α) = i α anche a Roger Cotes (1682-1716)  .  
(3)
Il numero trascendente π  (perchè non è esprimibile mediante una frazione e non è soluzione di equazioni algebriche) sarebbe una costante universale in uno spazio 'piatto' o spazio euclideo. Come forse è noto la gravitazione comporta un certo grado di curvatura dello spazio-tempo (Relatività generale di Einstein, 1916)  dovuto alla presenza delle masse. Questo comporta che su larga scala il rapporto tra circonferenza e diametro sia diverso da π.  Per comprendere questo fatto si provi a pensare ad una circonferenza tracciata su una superficie, ad esempio sferica: il diametro sarebbe in questo caso un arco di circonferenza  massima, di lunghezza maggiore rispetto al diametro misurato su una superficie piana. Conseguentemene  π avrebbe un valore inferiore a 3.14159...   
(4)
  se u = logb(x)   xa = (bu)a = b au = blogb(x) quindi  logb(xa) a⋅logb(x 
(5) Per note proprietà dei limiti e delle potenze:  `e^x \cdot e^{iy}  =  lim_(n->oo) [(1 + x/n) \cdot (1 + (iy)/n)]^n`. Eseguendo il prodotto si ha: `lim_(n->oo) [1 + (x+iy)/n+ (ixy)/n^2)]^n`. Il termine `(ixy)/n^2 `  va a zero più rapidamente al tendere di n ad infinito e quindi, in tale situazione,  può essere trascurato 





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