Radice quadrata di un numero complesso

La radice quadrata di z = u+iv data da un numero complesso
z = a+ib tale che
(a + ib) = u + iv
Per determinare a e b  basta porre che le parti reali e immaginarie di
(a + ib)2
e di u + iv siano rispettivamente uguali:
{ a2− b = u { a2− v2/4a2 = u
2ab =  v b = v/2a

Ricavando b dalla seconda equazione, sostituendo nella prima ed elimnando i denominatori
giungiamo al sistema:

{ 4a4 − v2 = 4a2u
b = v/2a

Riordiniamo la prima equazione del sistema:

4a4
4ua2  v2 = 0

essendo un'equazionbe biquadratrica,  poniamo x =
a2
con ci abbiamo l'equazione di secondo grado:

4x2
4ux  v2 = 0

che risolta d:

x = 4u  √16u2 + 16v2 = u   √u2 + v2
8 2

poich   x e a sono numeri reali, essendo  x = a2 , solamente la soluzione positiva deve essere considerata
(u − √u2 + v2 sicuramente negativa  perch u < √u2 + v2 )
per cui:

x = a2 = u + √u2 + v2
2

eleviamo a quadrato la seconda equazione
b2 = v2/4a2
e sostituiamo il valore trovato per a:

b2 =             v2        
2(u + √u2 + v2)

razionalizziamo il denominatore:

b2=        v2 (u − √u2 + v2)             = v2 (u − √u2 + v2) = v2 (u ˆ’√u2 + v2) =  − u + √u2 + v2
2(u + √u2 + v2)(u − √u2 + v2) 2(u2 − u2  −  v2) 2(  − v2) 2

estraendo la radice quadrata si ottengono i valori cercati di a e b



z  = a+ib = u + √u2 + b2   i −u + √u2 + b2


2 2