Lezione   Sistema trifase: generazione di un sistema simmetrico di tensioni

Discipline: ELETTROTECNICA

Sandro Ronca


Sintesi: introduzione al sistema trifase, che rappresenta la tecnologia più usata per la trasmissione e l'utilizzazione dell'energia elettrica.  
Qui parliamo di come generare un sistema trifase di tensioni e delle caratteristiche dei collegamenti a stella e a triangolo.

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1.1 - Prerequisito: generazione di una forza elettromotrice (fem) alternata sinusoidale

Prima di affrontare lo studio del sistema trifase, conviene ricordare come si possa generare una forza elettromotrice alternata sinusoidale.

Sulla lavagna interattiva a sinistra verifichiamo che la casella di controllo "Generatore trifase" non sia selezionata (non c'è il segno di spunta).
Potremo così vedere lo schema di principio di un generatore monofase .
[In questa lezione un click col tasto sinistro del mouse sui collegamenti  fa in genere comparire una casella di controllo sulla lavagna interattiva (applet). Il doppio click la fa scomparire. Analogamente per i pulsanti sotto l'applet i quali consentono la modifica di alcuni parametri attraverso la comparsa (primo click) o scomparsa (secondo click) di cursori].

    Per generare una fem, secondo la legge generale dell'induzione elettromagnetica, dobbiamo produrre un moto relativo tra un campo magnetico ed un conduttore o un circuito elettrico(1). Tecnicamente la cosa  più conveniente consiste nel far ruotare con velocità angolare costante (moto circolare uniforme) un conduttore dentro un campo magnetico. Diciamo anche che è del tutto indifferente se sia il conduttore a muoversi rispetto ad un campo magnetico, o viceversa. Ciò che importa, ai fini della generazione della fem indotta, è il moto relativo tra campo magnetico e conduttore.

    La forza elettromotrice indotta è espressa in generale dalla legge di Faraday:  
e(t) = −ΔΦ(t)/Δt, o dalla legge, detta formula dei generatori,  più adatta allo studio del nostro caso:  e(t) = Blvsen(α).
Nella prima  formula, abbiamo messo in evidenza come sia la fem indotta e, sia il flusso magnetico Φ, siano funzioni del tempo. Nella seconda, che in alcuni casi può essere ricavata dalla prima, anche se non esplicitamente messo in evidenza, notiamo che tutte le grandezze possono in teoria dipendere dal tempo (anche la lunghezza l del conduttore potrebbe variare nel tempo, ma ciò nella pratica non avviene).

    Nel caso in esame il campo magnetico B  è mantenuto costante, la lunghezza del conduttore l (lato attivo) a sua volta non varia, la velocità v è costante in modulo trattandosi di moto circolare uniforme, l'angolo α = ωt  dipende evidentemente dal tempo e ω = 2 π f , dove f è la frequenza di rotazione, è mantenuta costante per lo stesso motivo.  
α
è l'angolo secondo cui il conduttore taglia le linee di campo magnetiche e, dal fatto che compare entro la funzione seno, comprendiamo che se il conduttore si muove longitudinalmente al campo non vi è alcun effetto, cioè  e(t) = Blvsen(0) = 0; si ha invece l'effetto massimo se il conduttore taglia le linee trasversalmente:  e(t) = Blvsen(π/2) = Blv.

La velocità periferica può essere scomposta secondo due direzioni: una parallela (o antiparallela) rispetto alle linee di campo e l'altra perpendicolare a queste ultime. Solamente la componente trasversale della velocità è importante ai fini della produzione della fem indotta; la  componente parallela della velocità invece non ha alcun effetto.

    Il moto rotatorio del conduttore all'interno del campo  magnetico B, induce nel conduttore stesso una fem alternata sinusoidale che ha forma:

    e(t) = Blv ·sen(ωt+φ)  =  UM·sen(ωt+φ

dove l'ampiezza UM  è data da Blv  e φ rappresenta l'angolo di fase che determina il valore della funzione all'istante iniziale.
E' anche noto che le sinusoidi sono rappresentabili attraverso  vettori rotanti con velocità angolare 
ω, come è possibile verificare sulla stessa lavagna grafica. Si noti in particolare come i massimi della sinusoide corrispondano ai massimi valori di vx, mentre gli zeri ai massimi di vy (quindi agli zeri di   vx).  I vettori rotanti considerati all'istante iniziale (istantanea del sistema al tempo t = 0) e aventi modulo pari al valore efficace della grandezza  prendono il nome di fasori.
 
    Perchè il generatore sia  utilizzabile praticamente, il lato attivo deve comunicare con l'esterno attraverso un sistema di anelli coassiali e rotanti con il sistema mobile (il rotore), su cui poggiano le spazzole (contatti striscianti realizzati in genere in grafite). Ogni anello è collegato con il corrispondente lato attivo, il quale, attraverso questo sistema, può alimentare un circuito esterno.
Nel sistema rappresentato vediamo un anello anteriore collegato al conduttore 1 ed uno posteriore collegato al condutore 0. 


1.2 - Generazione di un sistema simmetrico di tensioni trifase.

Sulla lavagna interattiva a sinistra selezioniamo nuovamente nella casella di controllo: Generatore trifase.

    Il generatore monofase,  che produce una sola fem, è poco sfruttato. Vi è ampio spazio per ospitare altri conduttori (lati attivi) ognuno dei quali sarà sede di una fem sinusoidale indotta.

    Una soluzione possibile per migliorare, da questo punto di vista, l'efficienza del generatore (anche se non è questa l'unica ragione per cui si utilizza il sistema trifase) consiste nell'aggiungere altri due lati attivi, identici al primo,   posti ad una distanza angolare di 120° , 2π/3 radianti, uno dall'altro. Ogni lato attivo prende il nome di fase (denominata R,S,T oppure 1,2,3) e produce una fem alternata sinusoidale, detta tensione di fase.
Avremo allora:

fase R  (fase 1): u1(t) = U1·sen(ωt) 
fase S  (fase 2)
:u2(t) = U2·sen(ωt-2π/3) 
fase T  (fase 3):u3(t) = U3·sen(ωt-4π/3) (2) 


la situazione può essere rappresentata da tre vettori rotanti U1, U2 ,U3 , o dai rispettivi fasori, come evidenziato nell'applet della lavagna interattiva (d'ora in poi semplicemente: lavagna). Il sistema di tensioni così prodotto viene detto simmetrico proprio perchè si tratta di tensioni uguali in modulo e ugualmente sfasate (120°) tra di loro.

Ora, utilizzando la lavagna possiamo verificare alcuni aspetti importanti della rappresentazione vettoriale di un sistema trifase.
Il cronometro stilizzato in alto rappresenta lo scorrere del tempo. Possiamo anche evidenziare una linea temporale che permette di 'far scorrere' manualmente il tempo (conviene cliccare sul punto t e poi usare i tasti cursore per produrre la variazione).

    Come è noto i vettori rotanti presenti in uno stesso diagramma hanno la stessa frequenza. I corrispettivi fasori possono essere rappresentati da numeri complessi. Ad esempio nella situazione iniziale della lavagna, detto U il modulo (uguale) dei tre vettori, avremo:

U=  U + j·0  

U2 = U·[cos(-2π/3) + j·sen(-2π/3)]

U3·[cos(2π/3) + j·sen(2π/3)] 

Dove abbiamo indicato con j = −1 l'unità immaginaria (in altri contesti indicata con la lettera i).
Eseguendo i calcoli nelle formule precedenti:

U=  U + j·0 

U2 =  U·[-0.5 - j·0.866] 

U3  = U·[0.5+ j·0.866]

Nella rappresentazione con fasori, normalmente il modulo del fasore è uguale al valore efficace della grandezza, quindi  U = UM / √2.
Se, ad esempio,  U = 230 V avremo:

U1= 230 +j 0
U2= -115 - j199
U
3= 115 + j199


Poichè i vettori rotanti sono isofrequenziali (non è ammesso rappresentare in un diagramma vettoriale vettori con frequenze diverse), la fase del vettore ...
Osserva cosa succede quando si cambia la fase delle sinusoidi. Dovendo rimanere simmetrico il sistema, la variazione di fase di una delle sinusoidi comporta una uguale variazione delle altre.

Puoi inserire alcuni valori, in gradi, per l'angolo di fase
φ ( -90°<φ< 90°) Osserva come varia la situazione iniziale (quella da cui si inizia a contare il tempo).

φ° =    

Notiamo ora il comportamento del sistema al variare della frequenza. Osserviamo in particolare cosa accade alle tensioni. Per regolare queste ultime si può intervenire sull'intensità del campo magnetico (pulsante corrispondente in lavagna).
Puoi anche verificare cosa accade modificando la lunghezza del lato attivo (pulsante relativo).
Prova a mantenere costante l'ampiezza delle tensioni al variare della frequenza regolando l'intensità del campo induttore B.



1.3 - Collegamento delle fasi.

    I tre lati attivi, che d'ora in poi chiameremo fasi, devono essere collegati tra loro e con l'esterno.
Il collegamento verso l'esterno, in un caso come quello che stiamo studiando, dovrebbe essere realizzato mediante un sistema di tre anelli, ognuno collegato con una fase,  su cui strisciano le  spazzole  collegate ai circuiti  esterni.

Nella lavagna i conduttori che collegano l'alternatore con l'esterno (detti anche fasi) sono individuati dai numeri 1,2 e 3. Il conduttore che ha origine dall'eventuale centro stella (detto anche npolarità istantaneaeutro)  è indicato con 0. Le frecce sui conduttori indicano il polo positivo istantaneo della fem come è uso comune.Sul conduttore di  neutro (0) non compaiono frecce poichè, nel collegamento a stella (vedi 1.4) è considerato  il conduttore di riferimento per i potenziali. Le frecce rappresenterebbero , qualora il generatore fosse collegato con un carico esterno, anche le direzioni istantanee delle correnti che percorrerebbero le tre fasi.
Osserva come variano le polarità sui conduttori. In particolare è interessante notare come vi sia sempre almeno un conduttore con una polarità opposta alle altre.
Questo fatto si riflette anche sulle correnti: esiste sempre almeno una corrente opposta alle altre due.
Sul conduttore di neutro, come si vedrà, può esserci o non esserci corrente, a seconda delle caratteristiche del carico (la corrente nel neutro è nulla se il carico è 'equilibrato'
(3), la corrente è non nulla se il carico è 'squilibrato').

    Nella realizzazione tecnologica di un alternatore si usa tuttavia una disposizione diversa: le fasi (l'indotto) sono fisse e collocate nella parte statica (statore) della macchina, mentre il sistema induttore (il campo magnetico) ruota (rotore) all'interno dello statore.
Questo rende più agevole il prelievo delle correnti e tensioni prodotte dal generatore, che possono essere collegate direttamente all'esterno senza l'intermediazione di spazzole e anelli, componenti intrinsecamente fragili  e soggetti a frequente manutenzione.
I collegamenti interni tra le fasi sono di due tipi: a stella e a triangolo.


1.4 - Collegamento a stella
Tebsioni concatenate e di fase
    Il collegamento a stella comporta che tre terminali corrispondenti  delle fasi siano collegati ad uno stesso punto, che prende il nome di centro stella . In questo caso le tensioni di fase  U1, U2, U3  sono anche dette tensioni stellate e spesso indicate con E1, E2, E3.  In questo modo disponiamo di due sistemi di tensioni: 
a) le tensioni di fase E1, E2, E3  , già citate, misurate tra gli estremi liberi (R,S e T) dei lati attivi e il centro stella;
b) le tensioni concatenate U12, U23, U31, che potremmo anche chiamare URS, UST, UTR , misurate tra coppie di estremi liberi dei lati attivi (R-S, S-T e T-R, appunto).

    Notiamo come nella denominazione sia rispettato il senso ciclico: 12, 23, 31, oppure RS, ST, TR, ciò
per conformarsi al succedersi dei ritardi 1-->2-->3-->1, R-->S-->T-->R. Vediamo passare Stella tensioniprima R, poi S poi T poi ancora R, ecc; S è in ritardo su R, T è in ritardo su S, e così via.

    I vettori rappresentativi delle tensioni concatenate 
si possono ottenere come differenza delle tensioni di fase:   U12 = U 1 - U2 ,  U23 = U2 - U3U31 = U3 - U1,

    Osservando  che l'angolo, ad esempio tra U1 e U2 è di 120°,  mentre gli angoli tra U1 e U12 e tra U2 e U12 sono di 30°, si può ricavare la relazione tra i moduli delle tensioni di fase e concatenate:  U12 = 2 U1 cos(30°) = 2 E cos(30°) = 2 E √3/2 = √3 E.

    Le tensioni di fase e concatenate possono anche essere rappresentate da vettori applicati tutti al centro  stella vettoriale come nella figura successiva. Da qui si vede chiaramente che le tensioni concatenate sono in anticipo di 30° sulle tensioni di fase.

    Se vogliamo esprimere matematicamente la relazione tra i due sistemi di tensioni, dobbiamo definire un operatore di rotazione di 30° ,  r |30° = cos(π/6) + j sen(π/6) = 0.866 + j 0.5.
In tal caso qualsiasi vettore Uij (i e j sono indici che possono assumere i valori 1,2 e 3, permutati in senso ciclico: 12-23-31) potrà essere espresso come:
                      
            Uij = √3·Ei·r |30°  
                                                                            
cioè: le tensioni concatenate hanno modulo √3 volte maggiore di quelle di fase e sono sfasate in anticipo di 30° su queste ultime.  
      
    Possiamo pensare all'alternatCollegamento a stellaore con le fasi collegate a stella come ad un insieme di tre generatori di tensione, E1, E2, E3,  che forniscono fem uguali E e sfasate tra loro di 120°.
Ad esempio: 

E
1 = 230 |0°,  E2 = 230 |-120°,   E3 = 230 |-240°.

    Dallo schema a destra, che raffigura  il modo con cui solitamente si rappresenta un collegamento a stella, dovrebbe risultare anche evidente che le tensioni concatenate Uij si ottengono per differenza  delle tensioni di fase di pari indice, Uij = Ei - Ej ,  U12 = E1 - E2  e similmente per le altre.

    Dal centro stella O è possibile derivare un quarto conduttore che prende il nome di neutro e spesso viene indicato con la cifra 0.
Le tensioni di fase possono quindi anche essere viste come le differenze di potenziale tra una fase ed il neutro: E1 = U10 ,  E2 = U20  , E1 = U30 .


1.5 - Collegamento a triangolo

    Il collegamento a triangolo consiste nel connettere la fine di una fase con l'inizio della fase successiva, fino a realizzare una maglia chiusa.

    Nel nostro esempio la fine di R è collegata all'inizio di S, la fine di S all'inizio di T e la fine di T all'inizio di R.  Gli inizi di R, S e T sono collegati all'esterno formando così tre nodi.Somma Zero

    In questo tipo di collegamento abbiamo un solo sistema di tensioni, le tensioni di fase, che però sono anche concatenate:
U12 = URS = U 1U23 = UST = U2, U31 UTR = U3.

    Notiamo che   URS + UST  + UTR = URR = 0, cioè  la somma delle tre tensioni di fase (e anche concatenate) nel triangolo corrisponde  alla differenza di potenziale di un punto (R, in questo caso) rispetto a se stesso e quindi deve necessariamente essere nulla.
La somma vettoriale: URS + UST  + UTR   è effettivamente nulla e ciò è vero per qualsiasi sistemaCollegamento a triangolo di tre vettori uguali in modulo e ugualmente sfasati (120°): lo si può facilmente provare calcolando la somma di due dei tre vettori  (ad esempio U1 e U2) con la regola del parallelogramma e constatando che la risultante è uguale ed opposta al terzo vettore (U3).
    Qui, a destra, abbiamo una rappresentazione molto usata del collegamento a triangolo. Come gìà detto, in questo caso disponiamo di un solo sistema di tensioni simmetriche che sono allo stesso tempo concatenate e di fase.
    L'utilità del collegamento a triangolo, come si vedrà, sta nel fatto che in questo modo possono essere erogate correnti  verso l'esterno che hanno intensità √3 volte maggiore di quelle erogate dalle singole fasi generatrici  (dai generatori dello schema).

Rev. 25/11/2010


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(1)  In realtà campi elettrici e quindi differenze di potenziale possono essere create da variazioni nel tempo di campi magnetici, indipendentemente dalla presenza o meno di conduttori e/o  circuiti elettrici.

(2) Notiamo che è anche: u3(t) = U3·sen(ωt+2π/3), cioè U3  può essere ottenuto  anche come una rotazione di 120° in senso antiorario di  U1 oltre che da una rotazione in senso orario di 240° sempre di  U1.

(3) Un carico trifase, sottoposto ad un sistema simmetrico di tensioni trifase, si dice equilibrato se le correnti che lo percorrono sono uguali in modulo e ugualmente sfasate (120°). Questa condizione può essere realizzata ad esempio se le tre impedenze del carico sono identiche. 


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