FISICA, ELETTROTECNICA
Sandro Ronca

   
Circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale




Capitolo  1°

Circuiti R-L-C serie. Reattanza e impedenza. Risonanza



Sintesi: Analizzando il comportamento in regime sinusoidale del resistore, dell'induttore e del condensatore si introducono i concetti di reattanza, impedenza e ammettenza. Si studiano quindi i bipoli ottenuti con resistore R, induttore L e condensatore C ideali collegati in serie, anche in funzione della frequenza. Viene poi preso in considerazione il fenomeno della risonanza. 

Prerequisiti: Funzioni trigonometriche, numeri complessi, grandezze elettriche alternate sinusoidali

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Convenzioni tipografiche: usiamo il grassetto per  rappresentare i vettori, ad es. I , E, e gli operatori complessi, ad es. Z e Y. Con il carattere normale indichiamo i moduli: I = |I|, E = |E|.
Riserviamo le lettere maiuscole V, I, E, ecc, per rappresentare vettori, moduli di vettori e grandezze costanti nel tempo come ampiezze e valori efficaci. Usiamo invece lettere minuscole quando desideriamo rappresentare le sinusoidi, o, in generale, mettere in evidenza la dipendenza dal tempo, come ad esempio in  v(t)= VMsin(ωt). In alcuni casi usiamo indici per specificare meglio il tipo di grandezza, es.
VM indica ampiezza o valore massimo.




1 - Circuiti elettrici in regime alternato sinusoidale

Carica appletIn un precedente capitolo ci siamo occupati della generazione di una tensione o forza elettromotrice (fem) alternata sinusoidale v(t).  
La fem è una energia potenziale per unità di carica: 1 volt = 1 joule / 1 coulomb. Il dispositivo che produce questa tensione è un generatore di tensione. Esso, inserito in un circuito elettrico di cui fanno parte anche dispositivi utilizzatori dell'energia elettrica, provocherà il movimento  di
circuito semplice
Figura 1 - Circuito con generatore e utilizzatore
cariche elettriche,  una corrente elettrica, la cui intensità è definita come :
                                 i(t) = Δq(t) / Δt  
oppure:
                                 i(t) = dq(t) / dt 

se si utilizza il calcolo differenziale.

Il movimento di cariche è dovuto al campo elettrico legato alla tensione impressa v(t)  ed è costituito da un'oscillazione armonica dell'insieme degli elettroni di conduzione presenti nel reticolo cristallino.
Questo studio è limitato alle correnti e tensioni stazionarie: si tratta di correnti e tensioni sinusoidali in cui le caratteristiche della sinusoide quali frequenza, ampiezza e fase non variano nel tempo.  In questo caso diciamo che il circuito elettrico funziona in regime alternato sinusoidale.


1.1 - Sinusoidi e numeri complessi

Prima di continuare, è utile ricordare che le sinusoidi possono  esprimersi  sotto forma di numeri complessi.
vettori e numeri complessi
Figura 2 - Vettori e numeri complessi
Trattando dei numeri complessi (1.2.2), siamo giunti alla conclusione che ognuno di essi può essere rappresentato, sul piano di Argand-Gauss, mediante un vettore. D'altra parte esiste una corrispondenza biunivoca tra vettori rotanti e sinusoidi e, in particolare, tra sinusoidi e fasori. Il fasore rappresenta un vettore rotante nel suo stato iniziale, normalmente con modulo pari al valore efficace della grandezza. Esso è caratterizzato da ampiezza e fase, cui corrispondono il modulo √a2+b2  e l'argomento β  del numero complesso a+jb (figura 2).
Una sinusoide y(t) di pulsazione ω potrà allora essere rappresentata  dal numero complesso a+jb se: y(t)  = √a2+b2 sin(ωt + β), e β = arctan(b/a).
Abbiamo quindi la corrispondenza:

a+jb  ↔ √2a2+b2 sin(ωt + β)    β = arctan(b/a)     

oppure, in forma polare:

2a2+b2 e ↔  √2a2+b2 sin(ωt + β)    β = arctan(b/a)

e nella notazione di Steinmetz:

2 a2+b2∠β ↔  √2a2+b2 sin(ωt + β)     β = arctan(b/a)

La presenza del fattore √2 è dovuta al fatto che con i fasori si rappresentano i valori efficaci piuttosto che le ampiezze.
Queste corrispondenze stanno alla base del metodo simbolico, o analisi fasoriale, per il calcolo dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale.
Tuttavia, come verrà chiarito in seguito, non tutti i numeri complessi vengono interpretati come sinusoidi. Alcuni assumono il ruolo di  operatori agenti sulle sinusoidi stesse.


1.2 - Impedenza


È particolarmente importante poter stabilire una relazione tra  tensione impressa dal generatore v(t) e corrente i(t) nel circuito. Vedremo che questa relazione esiste, ma non è esprimibile in maniera semplice, come avviene in corrente continua con la legge di Ohm.
Per ora scriviamola in questa forma:

(1)                    v(t) = Z⋅i(t)

La grandezza Z di cui dobbiamo comprendere natura e struttura matematica, viene detta impedenza, ed è piuttosto da considerarsi come un operatore che trasforma  una sinusoide in un'altra: Z : i(t) → v(t)

Impedenza

Figura 3 - L'operatore impedenza Z  trasforma una corrente sinusoidale in una tensione sinusoidale.  L'unità di misura di Z  è  l'ohm ( 
Ω)
 
Dato allora  un circuito elettrico semplice, come quello di figura 1, con un generatore di fem alternata sinusoidale v(t)= VMsin(ωt)  e un  utilizzatore di energia elettrica U, ci proponiamo di descrivere la corrente attraverso una opportuna funzione sinusoidale i(t)=IMsin(ωt+θ), della quale si deve determinare l'ampiezza IM e la fase θ, e di determinare la grandezza Z attraverso la quale v(t) e i(t) sono  in relazione.
Poichè l'impedenza Z è certamente legata alla natura e alle caratteristiche elettriche dell'utilizzatore,  cominciamo l'analisi con lo studio di  tre casi limite:

    a) utilizzatore (carico) puramente resistivo
    b) utilizzatore (carico) puramente induttivo 
    c) utilizzatore (carico) puramente capacitivo

Il comportamento di ogni utilizzatore reale ovviamente presenta aspetti  propri di tutti e tre i casi elencati, in maggior o minor misura. Non è possibile infatti prescindere dalla presenza di una resistenza anche per un solenoide o un condensatore, così come non si possono eliminare completamente gli effetti induttivi e/o capacitivi  per un carico resistivo. Evidentemente per una bobina saranno prevalenti gli effetti induttivi, per un condensatore quelli capacitivi, ecc.
Lo studio dei casi limite è  importante perchè consente un'analisi semplificata e una comprensione più agevole. Il caso reale può poi venir trattato come sovrapposizione delle situazioni ideali studiate.



2 - Utilizzatore puramente resistivo

Carica appletL'utilizzatore equivale ad un resistore(1) di resistenza R ideale (privo di effetti induttivi e capacitivi) a cui viene applicata la tensione alternata sinusoidale:

(2)                v(t) = VMsin(ωt)

Un resistore  non è in grado di accumulare energia. Essa viene dissipata totalmente, istante per istante, sotto forma di calore per effetto Joule. Il dispositivo è quindi energeticamente passivo: semplicemente converte tutta l'energia elettrica assorbita  in calore.
Ai capi del resistore si forma una caduta di tensione che presenta polarità istantanea positiva sul terminale di entrata della corrente convenzionale.
Le polarità positive istantanee sono indicate dalla punta delle frecce che rappresentano le differenze di potenziale (ddp).
La corrente i(t)  segue esattamente l'andamento della tensione v(t) secondo la relazione lineare:

(3)                v(t) = R i(t)

ovvero:

(4)                v(t) = R IMsin(ωt)

da cui, considerando la (2), deduciamo che l'ampiezza della tensione deve essere:

(5)                VM= R IM

In termini di valori efficaci:

(6)                V= VM/ √2         IIM/ √2

essa può essere scritta come:

(7)                V= R I

Se si rappresentano le sinusoidi mediante i fasori V e I, si trova che questi sono in fase, cioè l'angolo relativo che essi formano ha valore nullo. La tensione V si ottiene moltiplicando I per il numero reale R, in questo caso  Z = R, per cui:

(8)           V = R I 

AttivitàNell'esempio abbiamo inizialmente fissato R = 4 Ω, valore efficace della tensione V = 24 V, cui corrisponde un'ampiezza VM = √2 V = 33.9 V. Il valore di R può essere variato attraverso il cursore (slider) che compare a fianco del dispositivo. Il motivo per cui nella scrittura dell'impedenza compare un angolo (0° in questo caso) sarà chiarito in seguito.

Un carico di questo tipo è detto anche puramente ohmico.


2.1 - Energia e potenza

Si è detto che il resistore trasforma istantaneamente l'energia assorbita w(t), convertendola in calore  per effetto Joule. Ciò è dovuto alla trasformazione dell'energia cinetica degli elettroni in movimento  in energia di vibrazione degli atomi del reticolo cristallino e degli elettroni stessi.
Per trasferire una certa quantità di  energia   Δw(t)  si impiega un tempo  Δt, vi è allora in gioco una potenza p(t) = Δw(t) /Δt = v(t)⋅i(t) = R i2(t).
Questa potenza è sempre positiva dato che dipende dal quadrato della corrente.  Questo significa che essa fluisce in un solo senso: dal generatore verso l'utilizzatore.
La caratteristica di questa potenza è che essa 'fuoriesce' dal sistema elettrico e può essere, almeno parzialmente, convertita in lavoro. Si può ad esempio riscaldare dell'acqua attraverso il calore generato dal resistore fino a trasformarla in vapore, che immesso in un turbina ne provoca la rotazione, eccetera.
Una potenza di questo tipo viene detta potenza attiva.

Per approfondire:

Autoinduzione    Potenza in corrente alternata sinusoidale



3 - Utilizzatore puramente induttivo

Carica appletUn induttore puro può essere pensato come un avvolgimento (o un solenoide) di N spire realizzato con  conduttore assolutamente privo di resistenza e di effetti capacitivi.
Esso è caratterizzato da un coefficiente di autoinduzione, o induttanza, L.

Le considerazioni seguenti si avvalgono dei concetti di derivata di una funzione. Se si desidera una trattazione che non utilizzi il calcolo differenziale vedere il successivo paragrafo 3.1. 

Come è noto il coefficiente di autoinduzione L mette in relazione il flusso magnetico Φ concatenato(2) o autoflusso con  la corrente che genera il flusso:

(9)        Φc(t) = L i(t)        

Dato che  si tratta di un flusso variabile nel tempo, l'induttore stesso sarà sede di una fem autoindotta  secondo la nota relazione:

(10)
e(t) = − L d i(t)

dt
Se la corrente i(t) è sinusodale e ha forma:

(11)                     i(t) = IMsin(ωt)

applicando le regole di derivazione, dalla (10) si ha immediatamente:

(12)
e(t) = − L d i(t)  = −ωL IM cos(ωt) = ωL Isin(ωt−π/2)

dt

da cui si deduce che e(t) è in ritardo di un quarto di periodo sulla corrente o come si usa dire:  e(t) è in quadratura in ritardo su i(t).
Il prodotto  ω⋅L della pulsazione e del coefficiente di autoinduzione viene indicato con XL o semplicemente con X e prende il nome di reattanza induttiva:

(13)                    XL = ω⋅L = 2πf L    

La (13)  mette anche in evidenza la dipendenza diretta di XL dalla frequenza.
Dalla relazione (12)  abbiamo allora:

(14)                   e(t) = XL Isin(ωt−π/2)

Ai capi dell'induttore si forma quindi una fem e(t) che è in ritardo di un quarto di periodo sulla corrente e  avrà  ampiezza:

(15)                    EM = XL IM

La (15) suggerisce che anche la reattanza induttiva debba essere misurata in ohm  (Ω).

AttivitàIl valore iniziale di L è stato fissato in 12.73 mH (millihenry) così da ottenere un valore di  4 Ω per la reattanza induttiva (13). L'ipotesi è che la frequenza sia di 50 Hz e quindi ω = 2πf = 314 rad/s,  XL = ω⋅L = 314 ⋅12.73 ⋅10 -3=  4 Ω.
Lo slider consente la variazione di L, ma è anche interessante osservare la variazione delle grandezze in funzione della 
frequenza. Osserva  ad esempio che aumentando il valore di f l'impedenza (la reattanza)  aumenta e la corrente diminuisce


3.1 - Relazioni vettoriali e  differenze finite

Carica appletPuò essere utile e istruttivo giungere alle precedenti conclusioni ragionando sui vettori rotanti, senza ricorrere al calcolo differenziale. È noto (v. Grandezze elettriche sinusoidali) che sinusoidi di egual frequenza possono essere rappresentate da vettori rotanti.  Vediamo nella lavagna la sinusoide corrente i(t) e il corrispondente vettore rotante I(3).  L'angolo ωt ovviamente varia allo scorrere del tempo.
Rappresentiamo la situazione in un istante generico t+Δt. Disegniamo ora il vettore nella posizione che occupava in un istante precedente t . Tra le due posizioni successive vi è una distanza angolare ωΔt ,  ciò significa che il vettore corrente I, partendo dalla posizione I(t), giunge in I(t+Δt) dopo Δt secondi, avendo percorso un angolo ωΔt.
In questo intervallo di tempo il vettore I(t) ha subito una variazione, perchè, pur non essendo cambiato il modulo, sono cambiate la direzione ed il verso. La variazione deve essere a sua volta un vettore :

 (16)               I(t+Δt) − I(t) = ΔI

o, se si preferisce:

(17)                I(t+Δt) = I(t) + ΔI        

cioè il vettore in una certa posizione si può ottenere dal vettore in una posizione precedente sommando la variazione ΔI.

In tutti questi discorsi il parametro Δt gioca un ruolo critico, nel senso che la consistenza del ragionamento e la precisione dei risultati dipendono fortemente dal suo valore. 
L'intervallo di tempo Δt deve assumere valori molto piccoli, prossimi allo zero. In tal caso il modulo di ΔI risulta praticamente uguale alla lunghezza dell'arco sotteso da ΔI stesso e può essere calcolato, allo stesso modo della lunghezza dell'arco, come prodotto di raggio x angolo (in radianti), Nel nostro caso il ruolo del raggio è assunto dal modulo del vettore I(t), mentre l'angolo è  ωΔt. Quindi :

(18)          ΔI  = IM⋅ωΔt

Dalla (10), che conviene qui scrivere in forma vettoriale (E e I sono i vettori  rappresentativi  delle sinusoidi):

(19)
E = − L Δ I

Δt
possiamo ricavare il vettore  E, che ha la stessa direzione di ΔI ma verso opposto a causa del segno meno che compare in (19). Il suo  modulo, considerando la (18), risulta essere :
         
(20)
E =  L IM⋅ω⋅Δt  = ωL IM

Δt
Notiamo che mentre ΔI dipende dall'intervallo temporale Δt, non è così per E,  come risulta dalla (20).
Il vettore E può essere applicato nell'origine mediante una traslazione (operazione che lascia invariato il vettore, dato che viene spostato parallelamente a se stesso senza deformazione), in modo da  rappresentare più agevolmente la sinusoide e(t).
Osserviamo ora che diminuendo il valore di Δt, il vettore E tende a disporsi perpendicolarmente rispetto ad I . Ciò spiega il fatto che la fem autoindotta risulta essere in ritardo di π/2  sulla corrente.
La tensione impressa v dal generatore non può che essere uguale ed opposta ad E perchè altrimenti non sarebbe possibile la circolazione di una corrente stazionaria.
Anche in questo caso è opportuno traslare il vettore tensione applicandolo nell'origine.
La tensione impressa è quindi in quadratura in anticipo sulla corrente (oppure la corrente è in quadratura in ritardo sulla tensione impressa). Viene anche messo in evidenza l'angolo di sfasamento reciproco φ,  di cui si può verificare la dipendenza da Δt, notando che al diminuire di quest'ultimo si approssima sempre meglio un angolo retto.


3.2 - Energia magnetica, potenza  e fem autoindotta

Per quale motivo si crea la fem (10) e perchè essa è in quadratura in ritardo rispetto alla corrente?
La corrente che scorre nell'induttore crea un campo magnetico cui corrisponde un'energia w immagazzinata nel volume di spazio occupato dal campo:

(21)        w(t) = 1/2 L i2(t)

questa è la risposta alle due domande precedenti. L'induttore è un dispositivo che accumula e rilascia l'energia immagazzinata sotto forma di campo magnetico. L'energia è accumulata quando la fem e(t) si oppone alla corrente con l'induttore che si comporta da utilizzatore. Viene invece restituita al generatore  quando e(t) e corrente sono concordi e l'induttore si comporta da generatore.
La potenza necessaria per trasferire l'energia (21)  non può essere estratta dal sistema generatore-induttore. Con essa non si può quindi eseguire lavoro su qualche sistema esterno. Una potenza con tali caratteristiche è detta potenza reattiva.

Per approfondire
:

Autoinduzione    Potenza in corrente alternata sinusoidale

In questo gioco di scambi enrgetici e di potenza la tensione impressa dal generatore elettrico v(t) deve essere sempre uguale ed opposta alla e(t) per poter consentire la circolazione di una corrente stazionaria senza alcuna dissipazione  di potenza:

(22)
v(t) = −e(t) =  L d i(t)  = ωL IM cos(ωt) = ωL Isin(ωt+π/2)

dt

da cui:

(23)                   v(t) = XL Isin(ωt+π/2)

e quindi:

(24)                   VM = XL IM

oppure considerando i valori efficaci  V = VM/ √2IIM/ √2:

(25)                    V= XL I

Per approfondire:

Autoinduzione    Autoinduzione in regime sinusoidale

Potremmo anche qui dire che Z = XL , ma ciò non sarebbe del tutto esatto dal momento che le relazioni (24) o  (25), valide  per le ampiezze o i loro valori efficaci,  non dicono nulla rispetto alle fasi reciproche delle sinusoidi, cioè, ad esempio, rispetto al fatto che la sinusoide i(t) deve essere  in ritardo di fase pari a π/2  sulla tensione v(t).
Per tale ragione non è sufficiente considerare XL come un semplice numero reale.


3.3 - La reattanza induttiva è un numero immaginario

Carica appletDunque le relazioni tra tensione impressa, fem autoindotta e corrente non possono limitarsi a coinvolgere ampiezze o valori efficaci, dato che si deve in qualche modo tener conto  degli sfasamenti tra grandezze. 
In effetti una scrittura come: v(t) = Z i(t)  vorrebbe dire scrivere qualcosa come:

VMsin(ωt) = Z⋅IMsin(ωt−π/2)

che rappresenta un assurdo matematico, non potendo essere  sin(ωt) = sin(ωt−π/2).
Per poter fare un discorso coerente dobbiamo porci su un piano diverso passando da sinusoidi a fasori e da fasori a numeri complessi.
L'operatore impedenza Z  applicato al fasore  I, oltre che agire sul suo modulo, deve provocarne una rotazione di π/2, in modo che la tensione risulti in anticipo di tale angolo sulla corrente. Quindi Z non può che essere un numero complesso e, nel caso particolare, un numero complesso immaginario. Ricordiamo infatti che ( v.  Numeri Complessi, paragrafo 1.2.4) l'unità immaginaria j può essere interpretata come  operatore di rotazione di π/2 in senso antiorario. Se quindi rappresentiamo le grandezze sinusoidali come fasori, a loro volta espressi da numeri complessi ( v. Grandezze elettriche alternate sinusoidali), la relazione cercata diventa:

(26)            V = j XLI

e si porrà:

                   Z = j XL.

Volendo potremmo anche scrivere la relazione tra E ed I:

(27)            E = − j XLI

dato che − j opera la rotazione opposta.

Ricordiamo qui che jXL può essere espresso in  forma polare XLejπ/2 oppure XL∠90°


4 - Utilizzatore puramente capacitivo

Alcune delle considerazioni seguenti si avvalgono del concetto di derivata di una funzione. Parallelamente (formule numerate con apice) si forniscono le formule con le differenze finite.  Se si desidera una trattazione che non utilizzi il calcolo differenziale vedere il successivo paragrafo 4.1. 

Carica appletAnalizziamo ora il comportamento di un utilizzatore puramente capacitivo, che identifichiamo con un condensatore ideale.
Il dielettrico del condensatore è sede di un campo elettrico generato dalla distribuzione di carica q(t)  sulle armature. Essa è in relazione con la differenza di potenziale v(t) sulle armature stesse, attraverso la capacità C, che supponiamo costante:

(28)           dq(t) = C dv(t) 
.
(28')         Δq(t) = C Δv(t)   

dove abbiamo usato sia  la forma differenziale (28) che quella alle differenze finite (28').
Le due formule precedenti affermano che, qualsiasi variazione di carica sulle armature si riflette proporzionalmente sulla variazione della ddp tra le armature stesse o, viceversa, che qualsiasi variazione di ddp tra le armature comporta una variazione di carica su di esse. La costante di proporzionalità è appunto la capacità C del condensatore.
Una variazione di carica comporta però la presenza di una corrente elettrica e infatti, se pensiamo di dividere la (28) per dt o la (28') per Δt, dato che:

(29)
i(t) dq(t)

dt
(29')
i(t) =   Δi(t)

Δt
otteniamo l'equazione differenziale:

(30)
i(t) = C dv(t)

dt
o alle differenze finite:

(30')
i(t) = C Δv(t)

Δt

Se confrontiamo la (30) con la (10) possiamo constatare che dal punto di vista matematico le equazioni sono formalmente identiche (isomorfe). Solamente, tensione e corrente si scambiano di ruolo.
Ricaviamo ora la relazione tra tensione e corrente con l'ausilio del calcolo differenziale:

(31)                    v(t) = VMsin(ωt)

dalla (30) abbiamo che:

(32)                    i(t) = ωC⋅VM cos(ωt) = ωC⋅VM sin(ωt+π/2)

L'ampiezza della corrente è:

(33)               I= ωC⋅VM

che già costituisce una valida relazione tra corrente e tensione. Tuttavia preferiamo scrivere un'equazione del tipo V = 'qualcosa' x I  perciò:

(34)
VM  1  IM

ωC

relazione che sussiste anche  tra valori efficaci:

(35)
V  1  I

ωC

Porremo quindi:
(36)
XC 1  = 1


ωC 2πf C

definendo così la  reattanza capacitiva XC.
Poichè  ω = 2πf, la reattanza capacitiva è inversamente proporzionale alla frequenza.

AttivitàIl valore iniziale di C è stato fissato in 796 μF (microfarad) per ottenere dalla (36) un valore di  4 Ω per la reattanza capacitiva. L'ipotesi è che la frequenza sia di 50 Hz e quindi ω = 2πf = 314 rad/s,  XC = 1/(ω⋅C) = 1/(314 ⋅796 ⋅10 -6) =  4 Ω.
Lo slider consente la variazione di C, ma è anche interessante osservare la variazione delle grandezze in funzione della  frequenza.



4.1 -  Relazioni vettoriali e differenze finite

Carica appletAnche qui torna utile ritrovare le relazioni tra tensione e corrente  ricorrendo alle equazioni alle differenze finite e ai vettori rotanti, sebbene, dal punto di vista matematico, si tratti di una sostanziale ripetizione di quanto esposto in 3.1, con gli opportuni adattamenti.

Rappresentiamo nella lavagna la sinusoide tensione v(t) e il corrispondente vettore rotante V.  L'angolo ωt  varia allo scorrere del tempo, ma consideriamo la situazione in un istante generico t+Δt. Disegniamo ora il vettore nella posizione che occupava in un istante precedente t . Tra le due posizioni successive vi è una distanza angolare ωΔt ,  cioè il vettore tensione V, partendo dalla posizione V(t), giunge in V(t+Δt) dopo Δt secondi, avendo percorso un angolo ωΔt.
In questo intervallo di tempo il vettore V(t) ha subito una variazione, perchè, pur non essendo cambiato il modulo, sono cambiate la direzione ed il verso. La variazione deve essere a sua volta un vettore :

 (37)               V(t+Δt) − V(t) = ΔV    

o, se si preferisce:

(38)                V(t+Δt) = V(t) + ΔV         

cioè il vettore in una certa posizione si può ottenere dal vettore in una posizione precedente sommando la variazione ΔV.
Anche in questo caso il parametro Δt gioca un ruolo critico per la precisione e la consistenza dei risultati. 
L'intervallo di tempo Δt deve assumere valori molto piccoli, prossimi allo zero. In tal caso il modulo di ΔV risulta praticamente uguale alla lunghezza dell'arco sotteso da ΔV stesso e può essere calcolato come prodotto di  raggio x angolo (in radianti), Nel nostro caso il ruolo del raggio è assunto dal modulo del vettore V(t), mentre l'angolo è  ωΔt. Quindi :

(39)              ΔV  = VM⋅ωΔt            

Dalla (30'), che conviene qui scrivere in forma vettoriale:

(40)
I = C Δ V

Δt

dove V e I sono i vettori rotanti che rappresentano le sinusoidi, possiamo ricavare la direzione e il verso della corrente I, così come il modulo:
          
(41)
I =  C VM⋅ω⋅Δt  = ωC VM

Δt

Notiamo che mentre ΔV dipende dall'intervallo temporale Δt, non è così per I,  come risulta dalla (41).
ll vettore I può essere applicato nell'origine mediante traslazione, in modo da rappresentare più agevolmente la sinusoide i(t).
Osserviamo ora che diminuendo il valore di Δt, il vettore I tende a disporsi perpendicolarmente rispetto ad V . Ciò spiega il fatto che la corrente risulta essere in anticipo di π/2  sulla tensione.
Viene anche messo in evidenza come l'angolo di sfasamento reciproco φ approssimi sempre meglio l'angolo retto al diminuire di Δt .


4.2 -  Energia elettrostatica e potenza

Carica appletQuando un condensatore ideale è collegato ad un generatore di tensione alternata sinusoidale  v(t) = VMsin(ωt),  subisce una serie continua di processi di carica e scarica. La fase di carica si ha quando corrente e tensione impressa dal generatore sono concordi. Nell'esempio della lavagna ciò avviene durante  il primo e, a polarità invertite, terzo quarto di periodo.  In questi intervalli la tensione aumenta, la corrente diminuisce man mano che si accumula carica sulle armature. La distribuzione di carica sulle armature forma il campo elettrico e  la relativa differenza di potenziale vC(t). Tuttavia quest'ultima, dato che le armature costituiscono praticamente i terminali del generatore (il circuito è interrotto dal dielettrico), non può che coincidere con la tensione del generatore.  
Anche in questo caso lo sfasamento tra tensione e corrente è sintomo dell'attitudine del sistema ad accumulare energia.
La fase di scarica si ha  quando tensione impressa e corrente hanno versi discordi. Ciò avviene durante il secondo e quarto quarto di periodo. L'energia precedentemente accumulata nel campo elettrostatico viene restituita al generatore.

L' energia w immagazzinata nel volume di spazio occupato dal campo elettrostatico è:

(42)            w(t) = 1/2 Cv2(t)

che si può ottenere, ad esempio,  integrando la potenza:

(43)            p(t) = v(t)⋅ i(t) = v(t)⋅C⋅dv(t)/dt = C⋅ v(t)⋅dv(t)/dt

(44)            w(t) = p(t)⋅dt = C v(t)⋅dv(t) = 1/2 Cv2(t)  

a  meno di una costante che può essere zero se si suppone v(0) = 0 , cioè condensatore inizialmente scarico.

Ragionando con le differenze finite notiamo che la potenza, per la (30') è data da:

(45)        p(t) = v(t)⋅i(t) = C⋅v(t)⋅Δv(t)/Δt 

da essa ricaviamo la variazione di energia o la quantità di lavoro eseguita nel tempo Δt:

(46)        Δw(t) = p(t)⋅Δt = C⋅ v(t)⋅Δv(t)

Sommando i vari Δw(t) otteniamo:

(47)        w(t) = ∑ Δw(t) =  C ∑ v(t)⋅Δv(t) = 1/2 Cv2(t)

nell'ipotesi che all'inizio  v(0) = 0 , cioè condensatore inizialmente scarico.

Anche in questo caso la potenza necessaria per trasferire l'energia (47)  non può essere estratta dal sistema. Con essa non si può  eseguire lavoro su qualche sistema esterno.
Una potenza con tali caratteristiche è detta potenza reattiva.

Per approfondire
:

Autoinduzione    Potenza in corrente alternata sinusoidale


4.3 - La reattanza capacitiva è un numero immaginario

Carica appletAbbiamo lo stesso problema che si presentava per  l'induttore.
In una relazione tra tensione e corrente la reattanza capacitiva XC non può essere un semplice numero reale dato che dobbiamo tener conto dello sfasamento della corrente, che qui è in quadratura in anticipo sulla tensione. La tensione sulle armature è dunque in ritardo sulla corrente di  π/2
Ricorrendo ai fasori avremo:

(48)            V = −j XCI

il  segno meno è giustificato dal fatto che la sinusoide tensione si ottiene, a meno della trasformazione del modulo, con una rotazione di fase di π/2 in ritardo (in senso orario) della sinusoide  corrente.


5 - Forza elettromotrice o caduta di tensione?

Ogniqualvolta in un utilizzatore elettrico avviene una trasformazione energetica(4) compare ai suoi capi una differenza di potenziale v(t) che può, in generale, essere funzione del tempo. D'altra parte l'assorbimento o la cessione dell'energia w(t) avvengono necessariamente  in un certo tempo, il che comporta l'esistenza di una potenza elettrica:

(49)                p(t) = Δw(t)/Δt =  v(t)⋅i(t)

In tutte le situazioni che abbiamo analizzato , compresa la fem di autoinduzione,  la ddp ai capi dell'utilizzatore ha sempre  polarità istantanee coincidenti con quelle della tensione impressa dal generatore.
Dal punto di vista dei versi di percorrenza del circuito,  questa ddp appare essere sempre opposta a quella del generatore. Normalmente a questa ddp  si dà il nome di caduta di tensione che, come detto, è segno della presenza di una trasformazione energetica.
Nel caso particolare dell'induttore però la ddp che si forma per autoinduzione non è direttamente generata dalla corrente o dalle polarità del generatore. Essa è dovuta ad un fenomeno diverso: la variazione di flusso magnetico all'interno dell'induttore. Per tale motivo è considerata a tutti gli effetti come un forza elettromotrice.


6 - Il bipolo R-L serie

Carica appletUn bipolo R-L è costituito da un resistore e da  un induttore ideali collegati in serie.
Un carico di questo tipo è detto ohmico-induttivo.
La corrente che scorre nei due dispositivi produce gli effetti che abbiamo esposto prima: una caduta di tensione vR(t) sul resistore e una fem e(t) sull'nduttore
ddp sull'induttore
Figura 4 - vL(t) è la ddp impressa sull'induttore

Ai capi dell'induttore il generatore rende disponibile una tensione vL(t) che deve essere uguale e contraria a e(t):  vL(t)=−e(t).
Sembra contraddittorio allora rappresentare vL(t) e e(t) con  frecce aventi lo stesso verso, mentre dovrebbero essere opposte. La questione si risolve pensando che in realtà l'induttore è connesso ai terminali A e B di un generatore equivalente, che comprende il generatore ideale di tensione v(t) in serie con la resistenza R. Quest'ultima provoca una caduta di tensione R⋅i(t). La differenza di potenziale che si forma tra i terminali A e B è la tensione impressa vL(t)  dal generatore sull'induttore:

(50)                    vL(t) = v(t) − R⋅i(t)

ovvero:

(51)                    vL(t) = v(t) − vR(t)

Dalla (51) è evidente che si avrà:

(52)                    v(t) = vR(t) + vL(t)

Ora, quest'ultima è una somma di sinusoidi, che può essere rappresentata da una  somma di fasori:

(53)                    V = VR + VL

d'altra parte da (8) e (26) :

(54)                   V = R IjXL

in cui VR = R IVL  jXLI  rappresentano le differenze di potenziale  presenti sui dispositivi. Esse danno come somma (vettoriale) la V del generatore.

I tre fasori tensione, con VL opportunamente trasposto (vettore tratteggiato), danno luogo al cosiddetto triangolo delle tensioni, in cui VR e  VL sono i cateti e  V l'ipotenusa. L'angolo tra  V e VR coincide con l'angolo φ di sfasamento tra tensione e corrente. Tra gli elementi del triangolo sussistono le note relazioni trigonometriche: 

(55)                VR = V⋅cosφ        VL = V⋅sinφ   

Raccogliendo il fattore comune  I nella (54) si ottiene:

(56)                    V (R + jXL)I

In parentesi abbiamo l'impedenza del bipolo

(57)                      Z = R + jXL     

in cui R è la parte reale dell'operatore impedenza e XL la parte immaginaria.
Quindi:

(58)                      V ZI

Dal  triangolo delle tensioni ricaviamo il  triangolo delle impedenze, di cui  R e  XL costituiscono i cateti e Z l'ipotenusa. Anche qui abbiamo le relazioni trigonometriche:

(59)                R = Z⋅cosφ        XL = Z⋅sinφ      Z = √R2+X2L       tanφ = XL/R

Si noti che l'angolo φ che compare nel  triangolo delle impedenze  è positivo perchè rappresenta un anticipo della tensione sulla corrente. Esso è una caratteristica dell'impedenza e non va confuso con gli angoli di fase dei vettori.  L'angolo φ è positivo per una impedenza ohmico-induttiva e può variare solo se si modificano i componenti dell'impedenza stessa.

Si chiarisce ora  meglio il ruolo di Z come operatore complesso sui fasori nel caso ohmico-induttivo. Esso agendo sul vettore I:
(60)         φ = arctan(XL/R)

Si possono osservare sulla lavagna gli effetti  delle variazioni di R e XL.

Attività Osserva il comportamento del bipolo RL anche in funzione della frequenza. Aumentando  f  la corrente diminuisce. In questo circuito è agevolata la circolazione di correnti a 'bassa' frequenza. Come varia l'angolo di fase in funzione della frequenza? Perchè?

Nel nostro esempio tuttavia abbiamo preferito tenere come riferimento la tensione V, cosa che comunemente accade nella pratica, e determinare il vettore corrente sulla base dei valori di resistenza  e  reattanza  dell'impedenza.

Invertendo la formula (58) abbiamo:

(61)               I = 1/ZV

oppure

(62)               I = YV

che ci permette  di definire l'ammettenza come reciproco dell'impedenza:

(63)                Y = 1/Z

L'ammettenza è allora l'operatore inverso dell'impedenza Y = Z -1, che trasforma il fasore tensione nel fasore corrente.
Come si sa, prodotti e divisioni tra numeri complessi si eseguono più agevolmente se si adotta la forma polare:

(64)               Ve ZeIe

nella notazione di Steinmetz:

(65)                V∠α Z∠φ⋅I∠β

da cui : α = φ + β

Per l'ammettenza si ha:

(66)                Y = 1/(Ze) = 1/Z e−jφ

oppure:

(67)                Y = 1/Z ∠−φ

D'altra parte Y può anche essere espressa in forma algebrica:

(68)                 Y = G + jB

da cui con semplici calcoli si ricava per la conduttanza G e la suscettanza B:

(69)                G = R / (R2+XL2)    B = −XL / (R2+XL2)


6.1 - Potenze nel bipolo R-L serie

Il resistore è caratterizzato dalla potenza attiva:

(70)                P = VRI = V cosφ⋅I = V⋅I cosφ

I'induttore dalla potenza reattiva:

(71)                Q = VLI = V sinφ⋅I = V⋅I sinφ

in cui abbiamo usato le (55).
In alternativa, ricordando che in modulo  VR = R IVL  XLI, avremo anche:

(72)                 P = VRI = R I2

(73)                 Q = VLI = XLI2

Per approfondire
:

Autoinduzione    Potenza in corrente alternata sinusoidale


7 - Il bipolo R-C serie

Carica appletUn bipolo R-C è costituito da un resistore e da  un condensatore ideali collegati in serie.  Un carico di questo tipo è detto ohmico-capacitivo.
La somma delle due ddp deve  eguagliare la v(t) del generatore:

(74)                    v(t) = vR(t) + vC(t)

che si traduce nella relazione tra fasori:

(75)                     V = VR + VC

ricorriamo alle  (48) e (8) per scrivere:

(76)                     V = R⋅I  −j XCI

in cui VR = R I  e  VC −j XCI  rappresentano le differenze di potenziale  presenti sui dispositivi. Esse danno come somma (vettoriale) la V del generatore.

I tre fasori tensione, con VC opportunamente trasposto (vettore tratteggiato), danno luogo al cosiddetto triangolo delle tensioni, in cui VR e  VC sono i cateti e  V l'ipotenusa. L'angolo tra  V e VR coincide con l'angolo φ di sfasamento tra tensione e corrente. Tra gli elementi del triangolo sussistono le note relazioni trigonometriche:

(77)                    VR = V cosφ       VC = V sinφ


Raccogliendo I nella(76):

(78)                    V = (R −j XC)⋅I

mentre l'impedenza è:

(79)                    Z = R −j XC

È bene notare che la parte immaginaria di Z negativa comporta che l'angolo  φ sia a sua volta negativo:

(80)                   φ = arctan(−XC/R)

Nel caso ohmico-capacitivo l'operatore Z, agendo sul vettore I:
Dal  triangolo delle tensioni ricaviamo il  triangolo delle impedenze, di cui  R e  XC costituiscono i cateti e Z l'ipotenusa. Come detto l'angolo dell'impedenza è negativo: si ponga  dunque attenzione al disegno del triangolo, che appare simmetricamente ribaltato rispetto al caso precedente.

Attività Osserva il comportamento del bipolo RC anche in funzione della frequenza. Aumentando  f  la corrente aumenta. In questo circuito è agevolata la circolazione di correnti ad 'alta' frequenza. Come varia l'angolo di fase in funzione della frequenza? Perchè?

Per l'ammettenza si ha:

(81)                   Y = 1/(Ze−jφ) = 1/Z e

oppure:

(82)                   Y = 1/Z ∠φ

D'altra parte Y può anche essere espressa in forma algebrica:

(83)                   Y = G + jB

da cui, con semplici calcoli si ricava per la conduttanza G e la suscettanza B:

(84)                   G = R / (R2+XC2)    B = XC/ (R2+XC2)

Notiamo anche qui le differenze di segno della suscettanza rispetto al caso ohmico-induttivo.


7.1 - Potenze nel bipolo R-C serie

Il resistore è caratterizzato dalla potenza attiva:

(85)                P = VRI = V cosφ⋅I = V⋅I cosφ

il condensatore dalla potenza reattiva:

(86)                Q = −VCI = −V sinφ⋅I = −V⋅I sinφ

in cui si sono usate le (77).
In alternativa, ricordando che in modulo  VR = R IVC  XCI, avremo anche:

(87)                 P = VRI = R I2

(88)                 Q = −VCI = −XCI2


Come si vede la potenza reattiva capacitiva, date le relazioni tra le grandezze in gioco, è negativa.
Quest'ultima affermazione può essere meglio compresa se si prende come riferimento la corrente, sia nel caso R-C che nel caso R-L (si vari l'angolo α fino ad avere il vettore corrente  giacente sull'asse reale e quindi con fase nulla): VL e VC sono opposti, VL è positivo, VC è negativo.  La potenza reattiva induttiva è positiva, la potenza reattiva capacitiva è negativa.


Per approfondire:

Autoinduzione    Potenza in corrente alternata sinusoidale



8 - Il bipolo R-L-C serie

Circuito RLC serieNel bipolo R-L-C  abbiamo tutti e tre i componenti fondamentali collegati in serie.
Grazie  alle conoscenze finora acquisite siamo in grado di scrivere direttamente l'impedenza:

(89)                     Z = R + jXL − jXC = R + j(XL − XC)

A seconda dei valori che assumono le reattanze, la corrente può essere
sulla tensione di un angolo  φ = arctan[(XL−XC)/R].
Quindi il carattere del bipolo può essere globalmente di tipo:

Di particolare interesse, per le implicazioni relative allo sfruttamento efficiente della potenza elettrica(5), è il caso in cui  XL = XC, che, come si può vedere dalla (72), comporta l'annullamento della parte immaginaria dell'impedenza. Il carico allora appare essere di tipo resistivo, pur essendo presenti un induttore e un condensatore.

AttivitàModifica i valori di L e di C in modo da portare la corrente (sinusoide e vettore) in fase con la tensione. Osserva che una volta raggiunta questa condizione le reattanze sono uguali e l'impedenza assume il valore della resistenza R.

Le differenze di potenziale  presenti sui dispositivi danno come somma (vettoriale) la V del generatore.


8.1 - Scambi energetici nel  bipolo R-L-C serie

Nelle precedenti analisi  abbiamo evidenziato  il comportamento energetico dei vari dispositivi. Riassumiamo:
  1. Il resistore trasforma energia in calore senza accumularla. La potenza è di tipo attivo:fluisce solamente dal generatore all'utilizzatore. La potenza fuoriesce dal sistema (come calore in questo caso).
  2. L'induttore accumula energia sotto forma di campo magnetico in determinati intervalli di tempo. L'energia viene restituita al generatore durante altri intervalli. Non vi è alcuna dissipazione. La potenza fluisce nei due sensi ed è di tipo reattivo. Non può uscire dal sistema. Non può eseguire lavoro all'esterno del sistema
  3. Il condensatore accumula energia sotto forma di campo elettrico in determinati intervalli di tempo. L'energia viene restituita al generatore durante altri intervalli. Non vi è alcuna dissipazione. La potenza fluisce nei due sensi ed è di tipo reattivo. Non può uscire dal sistema. Non può eseguire lavoro all'esterno del sistema
Quando nel circuito sono presenti sia un induttore che un condensatore avviene un fatto interessante. Fintantochè l'induttore accumula energia, il condensatore la cede e viceversa.
Ciò può essere compreso  osservando la  disposizione dei vettori tensione e corrente sui dispositivi, la cui relazione con l'energia e la potenza abbiamo discusso precedentemente.
In altre parole induttore e condensatore hanno comportamento complementare. Quindi tutta o parte dell'energia e della potenza reattiva possono essere scambiate tra loro, coinvolgendo solo in parte o per nulla (quando XL = XC) il generatore.

AttivitàLa situazione che inizialmente presenta la lavagna  comporta  che parte della potenza reattiva venga scambiata tra induttore e condensatore. L'induttore però necessita di una maggior quota di potenza che preleva dal generatore. Modificando i valori di L e C si può ottenere una situazione in cui le tensioni  VL e VC sono  uguali  (quando XL = XC), segno che le potenze reattive sono uguali. In tal caso dal generatore viene prelevata solamente la potenza dissipata sul resistore. Infatti le sinusoidi tensione del generatore e la sinusoide corrente sono in fase.


9 - Reattanze e frequenza. Risonanza di tensione.

Circuito RLC serieÈ molto interessante analizzare il comportamento delle reattanze induttiva e capacitiva al variare della frequenza.
Dalla figura 5, considerate anche le ormai note  espressioni delle reattanza induttiva e capacitiva, che qui riportiamo:

XL = 2πL⋅f

XC  1

2πC⋅f
 
possiamo osservare che la reattanza induttiva ha andamento lineare, crescente con la frequenza, mentre la reattanza capacitiva ha andamento iperbolico, essendo inversamente proporzionale alla frequenza.
Ancora, possiamo notare che per f = 0 Hz, corrispondente ad una corrente continua, l'induttore ideale è assimilabile a un corto circuito: XL = 0, mentre il condensatore ideale rappresenta una interruzione,  cioè un circuito aperto: XC= ∞.
Un circuito con un induttore in serie tende a tagliare le alte frequenze in misura tanto maggiore quanto più elevata è l'induttanza (filtro passa-basso). Un condensatore in serie taglia invece le basse frequenze, tanto più, quanto minore è la capacità C (filtro passa-alto).



Esiste un valore della frequenza, detto frequenza di risonanza  f R, per cui le due curve si intersecano. Per questa frequenza le due reattanze hanno lo stesso valore: XL = XC, l'impedenza Z = R + j( X− XC) assume il valore minimo e conseguentemente  la corrente presenta un massimo.
Diciamo allora che il sistema è in risonanza. Nel caso presente si parla di risonanza serie o risonanza di tensione.
In risonanza la corrente è limitata dalla sola resistenza, mentre tensione impressa e corrente sono rigorosamente in fase.

AttivitàPer quali valori di L, C ed f si ha risonanza?  
Verifica la tua comprensione del fenomeno, individuando possibili  terne di valori che  realizzino la condizione di risonanza nel circuito rappresentato:

L =    mH   C =    μF

f =   Hz            
Lo puoi fare variando la  frequenza con il cursore predisposto, oppure applicando la formula che troverai più avanti. Successivamente potresti ad esempio chiederti per quali valori di L e C si abbia risonanza a 50 Hz (o ad altri valori). Con una capacità di 1000 μF ad esempio e una induttanza di 10.13 mH si ottiene la risonanza a 50 Hz.
Esegui altri tentativi con diverse coppie di valori. Usa il punto decimale quando scrivi i valori numerici.

Dal punto di vista energetico possiamo dire che la condizione di risonanza è caratterizzata dall'equilibrio nello scambio di potenza tra i componenti reattivi. Le due potenze sono uguali e di segno opposto, segno che mentre un componente assorbe energia (potenza) reattiva l'altro la cede nella quantità esattamente necessaria. Il sistema diventa indipendente dal generatore relativamente alla potenza reattiva. 

Esiste ovviamente una formula che permette di di determinare il valore di f R,  note L e C.
Se XL = XC , abbiamo  2πL⋅f = 1/ ( 2πC⋅f) e quindi: (2π)2LC f2= 1,  da cui otteniamo per  la frequenza di risonanza:
(90)
f R  1

2πLC

La condizione di risonanza di tensione è potenzialmente pericolosa, dato che anche con tensioni di alimentazione di modesta entità, si possono presentare correnti elevate che, sui componenti reattivi (induttore e condensatore), generano  differenze di potenziale anche molto elevate.  Questo succede perchè l'eguaglianza delle reattanze, con conseguente annullameno della parte immaginaria dell'impedenza,  fa sì che sia solo la resistenza a limitare la corrente.  Se R è molto piccola la corrente è proporzionalmente intensa. Al limite per R = 0 si avrebbe una condizione di corto circuito con corrente e tensioni tendenti a valori infinitamente grandi.

AttivitàVerifichiamo quanto detto. Partendo dai  valori iniziali regoliamo la frequenza per avere la risonanza.. Diminuiamo quindi R e verifichiamo il crescere dei valori di corrente e delle ddp sui componenti.
 
Di fatto l'impedenza presenta il valore minimo in corrispondenza della frequenza di risonanza, a cui corrisponde un massimo dell'intensità di corrente.
Non solo l'impedenza dipende dalla frequenza, ma anche il suo angolo  caratteristico φ . 



La fase φ dell'impedenza subisce una rotazione al variare della frequenza, come evidenziato dalla figura 6. Il passaggio per lo zero avviene esattamente alla frequenza di risonanza. A destra  della frequenza di risonanza, l'angolo φ è positivo e il carattere del bipolo è   ohmico-induttivo (o semplicemente induttivo se R=0), a sinistra della frequenza di risonanza  φ è negativo,  il bipolo ha carattere ohmico-capacitivo. Alla frequenza di risonanza φ = 0. Il bipolo ha un comportamento di  tipo ohmico. Possiamo anche studiare il comportamento in frequenza nel caso  R-L ove si nota chiaramente l'effetto di attenuazione alle alte frequenze della corrente, e  il caso R-C, per cui l'attenuazione si ha alle basse frequenze.

AttivitàGli slider  permettono di variare i fattori di scala dei grafici fase e corrente per una migliore visualizzazione. Prova anche a modificare i valori  delle reattanze, notando l'effetto sulle curve. Osserva in particolare il massimo della corrente.
Se prevale il carattere capacitivo il picco di corrente è spostato verso le alte frequenze. Viceversa, se prevale il carattere induttivo, il picco  si trova nella zona delle frequenza più basse.


10 - Approfondimenti e ricerche
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11- Libri dell'autore



Esercizi di  Macchine Elettriche Libreriauniversitaria.it
 
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Continua lo studio dei circuiti in alternata con:
Cap.  2° - circuiti  RLC parallelo. Ammettenza. Risonanza

Rev. 06/2015


(1)  Quasi sempre si confonde il dispositivo, il resistore, con la sua caratteristica elettrica: la resistenza. Ciò accade anche con induttore (dispositivo) e induttanza (caratteristica). Mentre con condensatore si indica correttamente  il dispositivo e con capacità la caratteristica elettrica 

(2) Un solenoide di N spire, sezione S e lunghezza l,  produce un flusso magnetico
Φ  =  μS/l  NI dove μS/l  = 1/R   (= riluttanza magnetica), Φ  =  NI/R, quando è percorso da una corrente elettrica di intensità I. Il flusso concatenato è N volte il flusso  Φ, dato che si concatena con le stesse N spire:  Φc  = (N2/R) I  =  L I. 


(3) Eccezionalmente e in deroga alla convenzioni tipografiche usiamo qui anche I(t+Δt) e I(t) per esprimere la dipendenza dal tempo della posizione del vettore rotante. 

(4) Una trasformazione energetica in un circuito elettrico comporta un moto di cariche, e quindi una corrente i(t), tra due punti A e B di un circuito, tra i quali vi sia differenza di potenziale VAB. A presenta una polarità istantanea positiva se, rispetto ad un riferimento comune per il potenziale,  V(t)A > V(t)B. Altrimenti si avrà su A una polarità istantanea nulla, V(t)A = V(t)B, o negativa V(t)A < V(t)B.

(5) La tecnica di portare la corrente in fase con la tensione è detta rifasamento. Con ciò si migliora lo sfruttamento dell'energia elettrica da parte degli impianti. Nelle applicazioni pratiche si collega un condensatore non in serie, ma in parallelo ad un carico ohmico-induttivo, perchè è necessario non variare la tensione sul carico, per non modificarne le caratteristiche di funzionamento.


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