Lo sfasamento delle
correnti era ottenuto
inserendo una resistenza da 15 a 18 Ω sulla bobina 2BBB2' compensando
la riduzione della corrente con un maggior numero di spire.
Nello stesso periodo Nicola
Tesla (1856-1943), fisico e ingegnere serbo-statunitense, otteneva
analoghi risultati. Gli studi di Galileo Ferraris, contenenti anche la
descrizione
di un piccolo motore asincrono furono pubblicati nell'aprile
del 1888 sulla rivista
"Il Nuovo Cimento".
Il 1° maggio dello stesso anno Tesla otteneva il
brevetto del motore asincrono.
A seguito dell'introduzione del sistema trifase di
distribuzione dell'energia elettrica e grazie
appunto alla scoperta del campo magnetico rotante, si diffuse
rapidamente l'uso del motore asincrono o motore a induzione. Tuttora si
tratta della macchina elettrica rotante maggiormente diffusa nel mondo.
Il campo magnetico rotante è anche alla base del funzionamento della
macchina sincrona, la quale oggi è prevalentemente usata come
generatore (alternatore).
2 - Il campo
magnetico rotante trifase
Nella lavagna
a sinistra è riprodotto lo statore
(1)
di una ipotetica macchina elettrica rotante in
corrente
alternata trifase. La parte in grigio costituisce il circuito magnetico
di statore che ha lo scopo, assieme al circuito magnetico di rotore, di
amplificare e incanalare i flussi magnetici
necessari per il funzionamento della macchina.
Figura
3 - Parti di un motore asincrono trifase 'didattico' (M. Todorovac)
I corpi emergenti dalla superficie interna dello statore
sono i cosiddetti poli, le cui parti terminali sagomate sono chiamate
espansioni polari. Essi costituiscono il nucleo
magnetico degli avvolgimenti (bobine) costituiti da un certo numero di
spire di
conduttore di rame. Questi avvolgimenti, opportunamente collegati tra
loro, costituiscono le tre fasi
del
sistema. Una macchina di questo tipo sarebbe classificata
come macchina a 'poli salienti' o
anisotropa. Anche
se nella pratica costruttiva si adottano altre soluzioni
(
4) la rappresentazione a
poli salienti è efficace dal punto di vista didattico.
2.1
- Convenzione sul verso delle correnti
Nello schema, P
1 rappresenta l'inizio
della fase 1 e F
1 la sua
fine. Seguiamo il conduttore rosso: entriamo in P
1
avvolgiamo N spire - 3 nell'esempio - attorno al polo,
usciamo seguendo sempre il conduttore rosso fino al polo
opposto al primo, attorno al quale avvolgiamo nello
stesso verso ancora N spire e poi usciamo da F1.
Ogni fase impegna quindi due poli diametralmente
opposti.
Stesso procedimento seguiamo per le altre due fasi
in colore verde e azzurro. Supponiamo di alimentare, per ora,
solamente la
fase 1 con la
corrente I1
e consideriamo un istante in cui essa assuma il suo
valore massimo
istantaneo positivo. Definiamo 'positva' la corrente se è
rappresentata da un vettore giacente nel
primo
o secondo quadrante, che presenta quindi parte immaginaria
positiva
(2).
Figura
4 - Regola di Maxwell o della vite
destrorsa per la determinazione del verso del
campo magnetico
Osserviamo
che il polo in alto diviene un polo Sud magnetico, quello
inferiore un polo Nord.
Le frecce indicano il verso della
corrente negli avvolgimenti in coerenza con la cosiddetta
regola di Maxwell (o della vite destrorsa), rappresentata nella figura
4.
Convenzionalmente
consideriamo positiva una corrente che entri dal principio di
un avvolgimento e esca dalla fine. La corrente
I1
, nell'istante rappresentato, è allora positiva.
Quando
I1
assume il
valore massimo in senso opposto
sarà considerata negativa. In tal caso la vedremo entrare
dalla fine ed
uscire dal principio dell'avvolgimento. Le polarità magnetiche
ovviamente si invertono nel tempo con una frequenza pari a quella delle
correnti che generano il campo magetico. Notiamo che
fintantochè il
vettore I1
si
mantiene nel
I
e
II
quadrante il verso della corrente e le
polarità magnetiche della fase non cambiano, varierà però
l'intensità del
campo magnetico B1
prodotto dalla corrente
I1
e rappresentato da un vettore diretto secondo l'
asse
polare della fase 1.
Analoghi discorsi si possono fare per le altre due fasi percorse dalle
correnti
I2
e
I3.
La distanza tra un polo magnetico e quello immediatamente successivo
di una stessa fase misurata sulla circonferenza interna dello
statore è detta
passo
polare τ
(tau). Se r è il raggio interno dello statore, nel caso rappresentato
τ
= r
π.
A volte ci si riferisce ad esso come angolo al centro tra i due poli
consecutivi (qui
π
radianti ) che equivale a porre r = 1.
2.2
- Il campo rotante
In ogni caso è importante notare che le correnti danno luogo
a
tre campi magnetici alternativi,
la cui intensità varia sinusoidalmente nel tempo secondo
l'andamento delle correnti che li generano.
La
somma
(3) istante
per istante dei tre vettori dà luogo ad un vettore
risultante che ruota con
velocità angolare costante mantenendo costante anche
l'ampiezza.
Si
può notare agevolmente che il campo risultante, nell'istante i cui si
ha la corrente massima in una delle fasi è diretto secondo l'asse
polare di quella fase. Questo fa sì che il flusso prodotto dal
campo
risultante possa a sua volta essere rappresentato da un vettore rotante
nei diagrammi vettoriali, riferiti ad una sola fase della
macchina elettrica.
Altrettanto agevole è determinare l'ampiezza del campo risultante. Se
ci poniamo ancora nella situazione in cui
I1 presenta il valore
massimo
istantaneo positivo, abbiamo B
1
che assume il suo valore massimo, diciamo B
M,
mentre B
2 e B
3 hanno
valore B
M/2 essendo creati da correnti che
hanno valore istantaneo pari a metà del valore massimo.
Notiamo anche che B
2 e B
3 formano
angoli di 60° con B
1. Data la
simmetria dei due campi rispetto a B
1 è evidente
che il
campo
risultante sarà diretto proprio lungo B
1
stesso. Basta allora
sommare
a B
1 le compnenti di B
2
e B
3 lungo B
1
stesso:
B = B
1+ B
2 cos(60°) + B
3
cos(60°) = B
1 + B
2 ⋅1/2 +
B
3⋅ 1/2 =
= B
M + B
M/2 ⋅1/2
+ B
M/2⋅1/2 = 6/4 B
M = 3/2
B
M = 1.5
B
M.
Si può dimostrare che in qualsiasi altra situazione il campo risultante
mantiene, in modulo, sempre lo stesso valore
La velocità di rotazione del campo dipende dalla frequenza
f
del sistema di correnti trifase.
Indicando con n
1 la frequenza di rotazione del
campo, espressa in giri al minuto, dal fatto che n/60 =
f
possiamo trovare la relazione: n
1
= 60
f,
impropriamente detta 'velocità' del campo.
Se
le correnti di fase sono uguali, cioè se il sistema è
equilibrato, il campo ha modulo costante nel tempo. Parleremo
in
questo caso di
campo circolare.
Uno squilibrio delle correnti provoca la variazione continua del modulo
di B: il moto del campo appare allora irregolare e viene detto
campo ellittico,
perchè la punta del vettore risultante B descrive un'ellisse. Lo si può
verificare modificando i valori delle intensità di corrente e usando l'
opzione 'traccia'.
2.3
- Inversione del senso di rotazione
Se '
invertiamo due fasi' ,
il che significa ad esempio mandare nella fase 2 la corrente I
3
e nella fase 3 la corrente I
2 , si inverte il
senso di rotazione del campo. Nell'esempio si simula proprio
l'inversione di I
2 e I
3.
Per ottenere l'inversione del campo qualsiasi coppia di fasi può essere
invertita.
3 - Coppie
polari e velocità del campo magnetico rotante
Abbiamo
già rilevato che la velocità del campo rotante è determinata
dalla frequenza delle correnti statoriche ed è ad essa direttamente
proporzionale, nel senso che, ad esempio raddoppiando la
frequenza, raddoppierà la velocità di rotazione. Ma vi è un altro
fattore che influisce sulla velocità: si tratta del numero di coppie
polari che caratterizzano il campo magnetico rotante.
3.1 -
Coppie polari del campo magnetico
Per comprendere il concetto di polarità del campo consideriamo
quanto segue.
Il
campo risultante generato da un sistema come quello
rappresentato
nella lavagna a sinistra può essere immaginato come generato da due
poli magnetici rotanti
che si formano nello statore. Le linee di campo escono dal polo Nord e
entrano nel polo Sud. Un simile campo magnetico è detto
bipolare.
Si può confermare questo fatto osservando le configurazioni istantanee
delle polarità magnetiche dei poli: lo statore appare
sempre suddiviso in due zone ognuna delle quali comprende solamente
poli Sud o poli Nord.
La frequenza di rotazione di un campo
bipolare è uguale alla frequenza delle correnti che lo generano: se la
frequenza delle correnti è di 50 Hz la 'velocità' del campo sarà di 50
giri al secondo o 3000 giri al minuto, come si ricava anche dalle
formule precedenti.
Ora
supponiamo che
il sistema sia realizzato come nella rappresentazione qui a
sinistra. Ogni fase comprende quattro poli. Essi devono
essere avvolti in modo tale che le correnti creino poli
magnetici che
si alternano secondo la sequenza Nord-Sud-Nord-Sud. Nel caso
della fase 1, dal polo in alto vicino al
princicio P
1,
si passa a quello che si trova a 90° in
senso
orario, poi ai successivi a 180° e 270°. Facendo attenzione al verso
con
cui si avvolgono le spire attorno ai poli, si ottiene che la
corrente I1
della fase 1 crea quattro poli
magnetici alternati N-S-N-S disposti come nell'immagine.
Analogamente per la
fase 2 e la
fase 3.
L'
effetto complessivo delle tre
correnti è allora quello di suddividere, dal punto di vista
magnetico, lo statore in quattro
zone, ciascuna delle quali rappresenta alternativamente un polo Nord e
un polo Sud. Esistono quindi due coppie di poli
Nord-Sud e il campo si dice a 4 poli o tetrapolare. Anche in
questo caso possiamo pensare al campo rotante come ad un insieme di
4
poli
magnetici rotanti che si creano nello statore. Le
linee del
campo
risultante escono dai poli Nord di statore ed entrano nei
poli Sud.
Come fatto notevole si osservi che questo campo possiede una velocità
dimezzata rispetto al caso precedente. Se la frequenza delle correnti è
di 50 Hz il campo compie 25 giri al secondo, 1500 giri al minuto.
3.2 -
Velocità del campo
Quanto detto sopra è un dato generale: la velocità del campo rotante è
inversamente proporzionale al numero di coppie polari. Definiamo quindi
la grandezza
p
= numero di coppie
polari.
Parleremo allora di campo, di avvolgimento o di macchina con p coppie
polari. Per una macchina bipolare avremo p = 1, per una macchina
tetrapolare p = 2, ecc.
Ovviamente 2p assume il significato di numero di poli, così
se p =
2 il campo ha 2p = 4 poli, se p = 3 il campo ha
2p = 6 poli, ecc.
Possiamo allora scrivere una legge più generale per la
velocità del
campo rotante:
da cui si può ricavare la
velocità
in giri al minuto:
Ricordiamo ancora che la
velocità
è correttamente una frequenza di rotazione, che andrebbe misurata
in Hz (hertz) ovvero s
-1.
L'unità minuti
-1 (o giri/minuto),
molto utilizzata nella pratica, non fa parte del sistema
internazionale di unità di misura.
Nel caso di una macchina a quattro poli, il
passo
polare τ
è dato da
τ= r
π /2
= r
π
/p.
4 - Campo magnetico nel
traferro di macchine isotrope
Una soluzione costruttiva frequentemente utilizzata per le
macchine elettriche basate sul principio del campo rotante trifase
(motori asincroni, motori e generatori sincroni), comporta la loro
realizzazione nella configurazione cosiddetta a
'poli lisci'. Una macchina
a poli lisci, detta anche
isotropa , è caratterizzata
dalla presenza di un traferro costante
(4).
Per contro, le macchine
a
poli salienti o
anisotrope
sono caratterizzate dalla non costanza del
traferro, il che si riflette sulla non omogeneità
delle riluttanze del circuito magnetico.
In
una macchina isotropa i conduttori che realizzano gli avvolgimenti sono
inseriti all'interno di canali o cave, ricavati nel circuito magnetico
dello statore e del rotore. Le cave sono uniformemente distribuite
lungo le superfici cilindriche dello statore e del rotore (figura 5,
dove però non sono rappresentate le cave del rotore).
Figura
5 - Sezione dello statore di una macchina elettrica isotropa
bipolare con le cave in cui sono
sistemati i conduttori di fase.
Nonostante la costanza del traferro, la riluttanza dei
circuiti non è rigorosamente costante poichè le
linee di campo tendono a
concentrarsi
nella zona dei denti di statore e di rotore, ma conformando
opportunamente le cave e i denti ci
si può avvicinare alla
condizione
ideale.
La figura 5 rappresenta lo statore di una macchina
isotropa bipolare.
L'avvolgimento di ogni fase occupa 10 cave, quindi abbiamo q =
5
cave per
ogni polo e per ogni fase. Abbiamo qui introdotto il parametro
q, numero di conduttori per polo e per fase. I colori
evidenziano la disposizione dei
conduttori rispetto alle fasi di appartenenza..
4.1 -
Campo nel traferro di una macchina isotropa
Per
determinare il campo magnetico nel traferro di una
macchina isotropa faremo ricorso alla legge della circuitazione
magnetica di Ampère.
Nella
parte in basso a destra della lavagna vediamo una porzione di statore
e rotore linearizzati. La corrente nel conduttore 1 è uscente (verso
l'osservatore), la corrente nel conduttore 2 è entrante. Con
δ
(delta) indichiamo lo spessore del traferro.
4.2
- Le ipotesi semplificative
Per studiare il campo magnetico nel traferro è opportuno avvalersi di
alcune ipotesi che consentono di semplificare l'analisi:
- La
riluttanza magnetica dei percorsi nel materiale con cui sono realizzati
statore e rotore è nulla: ℜm
= 0 o, equivalentemente, la loro
permeabilità
magnetica è infinita μ = ∞
- Il campo ha la stessa configurazione
in tutti i piani perpendicolari all'asse di macchina
- Le
linee di campo escono ed entrano perpendicolarmente rispetto al mezzo
di permeabilità infinita e possono essere considerate radiali nel
traferro
4.3
-Permeabilità e campo H
Come è noto vale la relazione
B
= μ
H
in cui B è l'induzione magnetica (ma è in realtà il vero campo
magnetico), μ è la permeabilità magnetica che dipende
dal mezzo in cui si sviluppa il campo,
H è
storicamente il vettore 'campo magnetico' .
Per un solenoide si ha:
dove N è il numero di spire,
I
l'intensita di corrente che le percorre,
l la
lunghezza del solenoide. NI è spesso
indicata con il termine forza magneto-motrice (fmm).
L'aspetto interessante del vettore
H
è che esso non dipende dal mezzo in cui si sviluppa il campo magnetico,
ma solo dalla configurazione delle correnti che ne sono l'origine. Per
tale motivo alcuni calcoli vengono semplificati usando
H al posto di
B.
Nel vuoto o nell'aria in cui μ = μ
0
(12.5664 10
-7 N A
-2
o H m
-1), si ha
B
= μ
0 H e quindi vi è
proprorzionalità tra i due vettori, essendo μ
0 uno
scalare. È ciò che accade, per esempio, nel traferro
di una macchina elettrica.
Nei
mezzi materiali ferromagnetici la
permeabilità non è più una semplice costante numerica, ma dipende
dall'intensità dello stesso campo magnetico e in materiali
non
isotropi assume addirittura lo status di tensore (generalizzazione
del concetto di vettore).
Può risultare sconcertante l'affermazione, basata sulla
precedente ipotesi 1 che:
l
a permeabilità infinita
del mezzo ferromagnetico (statore e rotore ) comporta che
B abbia un valore diverso da zero,
mentre H
è nullo.
Possiamo giustificare intuitivamente l'affermazione nel modo
seguente.
Nell'ipotesi che, in
B
= μ
H,
il campo di induzione
B
debba mantenere un certo valore, se μ assume valori grandi,
H deve
corrispondentemente diminuire.
Portiamo un esempio numerico a sostegno di quanto sopra.
Supponiamo si debba avere una intensità di induzione magnetica B= 0.8 T
sia
nel traferro che nel nucleo magnetico realizzato con lamierini al
silicio. La permeabilità di tale materiale all'induzione di 0.8 T è
pari a μ = μ
r⋅μ
0 = 2550⋅μ
0
, che equivale a dire che l'effetto del lamierino è di
amplificare il campo di 2550 volte rispetto all'aria o al vuoto.
Con un semplice calcolo:
nel traferro: H = B/μ
0
= 0.8 / 12.5664 10
-7
= 636618 A/m
nel ferro:
H = B/μ
= 0.8 /3.2 10
-3 =250 A/m
Come si vede la disparità tra i due valori è notevole: se si dispone di
un avvolgimento di 100 spire, nel ferro sarebbe sufficiente, a parità
di altre condizioni e supponendo
l = 1,
una corrente di 2.5 A per ottenere un campo di 0.8
T. Nell'aria, con 100 spire, dovremmo utilizzare una corrente di
oltre 6000 A.
Spingendo il ragionamento al limite, volendo ridurre a zero il
valore di H, μ dovrà assumere un valore infinitamente grande.
4.4
- La circuitazione
Per calcolare la circuitazione individuiamo un percorso
chiuso in un campo magnetico, ad esempio una
linea
chiusa orientata che circondi il conduttore 1.
La circuitazione si può calcolare suddividendo in piccoli
tratti Δ
l il
percorso, calcolando per ognuno di essi il prodotto scalare
H⋅Δ
l e sommando
fino a coprire tutta la linea chiusa:
Cl(H) = ∑i Hi⋅Δ
l i
dove usiamo la notazione
Cl(H) per indicare la
circuitazione di H
lungo la linea chiusa l.
Se la linea chiusa circonda un conduttore percorso da corrente I
avremo:
∑i
Hi⋅Δl i = I
Nel
caso generale in cui più correnti attraversino la superficie
che ha come perimetro la linea di circuitazione:
∑i
Hi⋅Δl i = ∑kI k
∑
kI k è la somma
algebrica (con segno) delle correnti.
Se invece
la linea non circonda alcuna corrente:
∑i Hi⋅Δl i = 0
Nel nostro
caso, avendo posto H
= 0 nello statore e nel rotore, alla circuitazione danno contributo
solo i tratti di attraversamento del traferro di lunghezza δ.
Tale lunghezza è di solito sufficientemente piccola da poter
considerare costante il campo su tutto il tratto δ. Il
campo
nei punti A e B dovuto al conduttore 1, in base al verso
della corrente , ha
l'andamento rappresentato: H
A verso il basso, H
B
verso l'alto; tuttavia per un calcolo corretto della circuitazione
conviene stabilire un
verso
positivo del campo(5)
nel traferro. Consideriamo per esempio positivo un campo diretto dallo
statore al rotore. Il contributo alla circuitazione sarà a sua volta
positivo se l'orientamento della linea è concorde con il verso positivo
di H, negativo in caso contrario
(6).
L'orientamento della linea è anch'esso arbitrario. In questo
caso abbiamo scelto un verso antiorario (concorde con l'orientamento
delle linee del campo magnetico creato dal conduttore 1).
Allora con le ipotesi poste:
HA⋅δ
− HB⋅δ
= I
Il segno meno davanti ad H
B è dovuto quindi alla
scelta
del verso positivo di H precedentemente effettuata.
Consideriamo ora un
secondo
percorso di circuitazione tale che la linea sia compresa tra
i due conduttori. Scriviamo la circuitazione:
HD⋅δ
− HE⋅δ
= 0
La circuitazione è nulla perchè nessuna corrente è circondata dalla
linea chiusa.
Quest'ultima relazione ci dice che H
D
= H
E e poichè l'unico vincolo che abbiamo posto
è che la linea sia compresa
all'interno dei conduttori 1 e 2, possiamo affermare che
H
D = H
E = H
B
e quindi concludere che tra i conduttori 1 e 2 il campo deve essere
costante e uguale per esempio ad H
B.
Consideriamo infine una
terza
linea chiusa che
comprenda entrambe i conduttori. Poichè, dal nostro punto di
vista i due conduttori sono i lati attivi di una spira (o di un
avvolgimento) le due correnti sono uguali ed opposte. Allora:
HA⋅δ
− HC⋅δ
= I
− I = 0
Questa relazione ci dice che H
A = H
C
e che quindi anche il campo all'esterno dei due conduttori è costante.
Abbiamo
quindi già una serie di importanti informazioni sull'andamento del
campo nel traferro: nelle ipotesi poste il campo avrà un andamento
rettangolare
come quello evidenziato nella parte alta della lavagna.
Resta il fatto che abbiamo due incognite H
A e H
B
, ma una sola equazione che le mette in relazione: H
A⋅δ
− H
B⋅δ
=
I.
4.5
- La solenoidalità del campo magnetico
Una caratteristica importante del campo magnetico è la cosiddetta
solenoidalità.
Figura 6 - Per la solenoidalità del campo magnetico Il flusso che entra
da S2 deve essere uguale a quello che esce da S1.
La
solenoidalità deriva dal fatto che le sorgenti del campo
magnetico non sono costituite da 'cariche
magnetiche', ma da correnti elettriche. Ciò comporta che il flusso di
un
campo magnetico
attraverso qualsiasi superficie chiusa debba essere nullo. In altre
parole il
flusso che entra attraverso una superficie chiusa deve essere uguale a
quello che ne esce. Se così non fosse esisterebbe almeno una superficie
rispetto alla quale si avrebbe un flusso solamente uscente o solamente
entrante, ma questo implicherebbe l'esistenza di una carica
magnetica isolata all'interno della superficie chiusa.
La superficie chiusa che noi consideriamo è costituita
dalla superficie interna dello statore, con le due basi
circolari di raggio
r.
In
verità, date le ipotesi fatte, non si può avere flusso uscente
attraverso le basi e quindi è sufficiente considerare la superficie
laterale
del cilindro. I conduttori 1 e 2 dividono la superficie
laterale in due parti: S
1 e S
2.
Se
l
è l'altezza del cilindro, basandoci sulla figura 6, avremo: S
1=
r α
l e S
2=
r (2
π
− α)
l.
Per la
sinusoidalità: B
1S
1
+ B
2S
2 = 0,
dove
Φ1=
B
1S
1 e
Φ2=
B
2S
2 sono i flussi
uscenti
(7)
dalle rispettive superfici. Avremo allora:
μ0
HA (2π
− α) r l
+ μ0 HB
α r l = 0
Risolvendo il sistema:
{ |
HA⋅δ
− HB⋅δ
= I |
HA
(2π
− α) + HB
α = 0 |
:
da cui ricaviamo i valori per H
A e H
B:
Come si vede, questi valori , oltre che dalla corrente e dallo spessore
del traferro, dipendono dall'
angolo
α
sotto il quale la spira è vista dal centro. Per noi è interessante il
caso in cui i conduttori dividono la superficie di statore in parti
uguali. Per esempio ponendo
α
= π
si ottiene subito che:
e, come si vede, questo comporta l'uguaglianza dei due campi a meno del
verso.
Altrettanto interessante è il caso di
4 conduttori
disposti simmetricamente e percorsi da correnti uguali,
alternativamente
entranti e uscenti, caso che si presenta nello studio di una macchina
tetrapolare. Qui possiamo applicare tutti i ragionamenti
precedenti immaginando che il sistema sia composto da due spire ognuna
con due lati attivi.
La seconda spira
genera un campo simile
al primo che sovrapposto al precedente dà un
campo risultante
rettangolare e simmetrico.
4.6
- Campo di un avvolgimento distribuito
Studiamo
ora il caso di un avvolgimento ripartito su più cave. Nell'esempio
immaginiamo che i conduttori di una stessa fase siano distribuiti su 3
cave a distanza angolare θ una dall'altra. Nell'ipotesi che
α
= π
avremo dei campi rettangolari come già visto. Anche qui calcoliamo il
campo per ogni coppia di conduttori corrispondenti (ogni spira): la
coppia 1-1' produce il
campo
rettangolare H1 evidenziato, simile al
campo
H2
della coppia 2-2' e a
H3
della coppia
3-3', che tuttavia appaiono sfasati di una
distanza r⋅θ
uno rispetto all'altro (nel grafico si è posto il raggio r =1) . La
sovrapposizione dei tre campi dà un
campo
risultante a gradini.
Questi campi rettangolari possono essere ottenuti come sovrapposizioni
di sinusoidi .
Il campo H
1 , per esempio può essere scritto
come :
H1
= 4/π
⋅ I/2δ [sin(x−β)
+ 1/3 sin(3x−3β) + 1/5
sin(5x−5β) + ...]
secondo
i primi tre termini dello sviluppo in serie di Fourier. La
fase β
tiene conto dello spostamento rispetto all'origine degli assi.
In prima approssimazione ognuno dei campi rettangolari può
essere rappresentato dalla
sinusoide
fondamentale o
prima
armonica:
H1 =
4/π ⋅ I/2δ sin(x−β)
il
che consente una notevole semplificazione dei calcoli. Il prezzo da
pagare tuttavia è di trascurare il contenuto in armoniche di queste
forme d'onda, il che è maggiormente importante quando si tratta di
generatori sincroni, ove la sinusoidalità delle tensioni generate deve
essere garantita con elevata precisione.
La presenza di armoniche
nel campo rotante dei motori è principalmente legata a un
aumento delle perdite e alla formazione di coppie parassite,
che
possono provocare irregolarità nel funzionamento in certe situazioni.
Anche il
campo
risultante
puo essere dato da uno sviluppo in serie di Fourier, ma è più semplice
pensarlo come sovrapposizione delle tre onde rettangolari H
1,
H
2, H
3.
La
prima
armonica di H si ottiene allora come
sovrapposizione delle tre fondamentali di H
1,
H
2 e H
3 oppure
può essere determinata direttamente secondo l'espressione:
H
=
4/
π k
a⋅q⋅
I/
2δ sin(x−β)
dove compare q, numero di cave per polo e per fase (3 nell'esempio) e k
a,
noto come
fattore di
avvolgimento, coefficiente correttivo (mai maggiore di 1)
che tiene conto della differenza di
fase tra le sinusoidi (e i fasori rappresentativi) dovuta allo
spostamento angolare θ tra cava e cava. k
a
è sostanzialmente il rapporto tra la somma vettoriale dei
campi e la somma algebrica dei loro moduli k
a =
Σ
Hi/
ΣH
i e può essere calcolato rapidamente con la
formula che compare nella lavagna.
5 - Campo magnetico
rotante in una macchina isotropa
Dopo
aver visto come determinare il campo magnetico per un avvolgimento
distribuito ci resta da studiare il campo rotante generato da
uno
statore con un avvolgimento trifase distribuito. Abbiamo rappresentato
nella lavagna una sezione dello statore di una macchina isotropa a 4
poli. L'avvolgimento è realizzato con 3 cave per polo/fase. Come al
solito le fasi sono evidenziate con colori diversi. Con le stesse
convenzioni precedentemente adottate sui versi delle correnti ,
possiamo evidenziare la
sequenza
dei versi istantanei delle correnti nei conduttori di fase.
Esse danno origine a
4
poli magnetici di statore rotanti con velocità
che a loro volta generano un
campo
magnetico rotante come evidenziato in lavagna.
5.1 -
Andamento del campo rotante nel traferro
Cerchiamo ora di
rappresentare l'andamento del campo rotante nel traferro. A tale scopo
abbiamo rappresentato lo statore in forma schematica e linearizzata con
i conduttori,
mettendo anche in evidenza gli inizi di ogni fase.(P
1,
P
2, P
3).
Alimentiamo inizialmente il sistema solamente con la
corrente I1.
Notiamo subito che si forma il campo a gradini che avevamo già
studiato in 4.1.5. Si tratta di un campo
alternativo, per il fatto che la corrente che
lo genera varia nel tempo sinusoidalmente, ma fisso nello
spazio. Analoghe considerazioni valgono per i campi
generati
dalla
corrente
I2
e dalla
corrente
I3.
Il campo magnetico creato da una fase ha allora un periodo temporale T
= 1/
f
e un periodo spaziale T
S
= 2π⋅r/p, dove r è il raggio della circonferenza interna di
statore, mentre
f
è la frequenza delle correnti statoriche e p è il numero di coppie
polari.
Nell'esempio ( r =1 , p = 2) osserviamo due oscillazioni
complete per cui il periodo spaziale sarà T
S
= π.
La sovrapposizione istante per istante di questi tre campi lungo tutto
il traferro genera un
campo risultante
che migra (lungo la circonferenza del traferro) con velocità costante
verso destra. Si vede subito che il campo, nel suo spostamento, non
mantiene rigorosamente invariata la forma. È certamente riconoscibile
una forma periodica di base i cui dettagli però (il valore
massimo, la disposizione relativa dei gradini) variano continuamente.
Tale osservazione è importante per alcune considerazioni che
seguiranno.
Questo campo è anch'esso funzione periodica del tempo con T
= 1/
f
e dello spazio con periodo T
S
= 2π/p. Il periodo coincide con il doppio
del
passo
polare τ.
Il numero di oscillazioni spaziali contenuto nello sviluppo angolare
(2π) dello statore dipende dal numero di coppie polari. Un
campo a 4 poli deve presentare due oscillazioni spaziali complete
N-S-N-S. Per tale motivo p,
numero di coppie polari, rappresenta proprio la frequenza di
'oscillazione' spaziale del campo.
Analogamente, se la funzione trigonometrica cos(
x)
presenta una sola
oscillazione nel suo periodo
spaziale 2π, nello stesso periodo la funzione cos(p
x)
mostrerà p osclillazioni.
In
prima approssimazione possiamo descrivere il campo mediante
una
sinusoide cui daremo il nome di sinusoide fondamentale (o
semplicemente 'fondamentale').
La sinusoide
fondamentale deve sovrapporsi il meglio possibile alla funzione a
gradini. Deve quindi , istante per istante, 'seguire' il campo
magnetico.
Quale sarà allora l'espressione analitica di questa sinusoide
'viaggiante'?
Scrivi la funzione:
|
Puoi
sperimentare sulla lavagna interattiva scrivendo la funzione
direttamente o utilizzando i pulsanti.
La
moltiplicazione si ottiene semplicemente inserendo uno spazio tra le
variabili o i numeri ( es. 3⋅x →
3 x).
Il
parametro p (numero di poli ) ha il valore p = 2.
La
pulsazione ω è impostata al valore appropriato per la simulazione.
Si
possono inserire valori numerici (usa il punto per la
virgola decimale).
π
=3.14159... è rappresentato con pi.
|
Il risultato dell'attività precedente dovrebbe essere una
sinusoide
la cui più evidente
prerogativa è quella di spostarsi nel verso del campo
magnetico alla sua stessa velocità, presentando un numero di
oscillazioni spaziali corrispondente a quelle del campo. Se non fosse
chiaro come ottenere questo risultato, si veda più avanti
l'approfondimento degli aspetti matematici connessi alla
descrizione del
campo rotante nel traferro di una macchina isotropa.
6 - Campi controrotanti e
teorema di Leblanc
Vediamo, qui a
sinistra, un vettore
B
rappresentato in una data posizione dello spazio (un piano x-y).
Fissata la direzione, questo vettore può essere
costante
in verso e modulo, nel qual caso un
grafico (t, B) che
descriva il comportamento del vettore al
trascorrere del
tempo sarebbe semplicemente una retta parallela
all'asse dei tempi. Viceversa il vettore può
variare dipendendo dal tempo secondo una certa legge f(t). Di
particolare interesse per le applicazioni e per questo studio è il caso
in cui la legge f(t) sia di tipo sinusoidale. Ciò implica la
variazione nel tempo di modulo e verso del vettore dando luogo a quel
che si dice un
vettore alternativo.
In funzione del tempo un vettore di questo tipo è espresso da:
(6.1) B = B
M
cos (ω t + φ)
che possiamo anche scrivere nella forma:
(6.2) B =
1/
2
B
M cos (ω t + φ) +
1/
2
B
M cos (ω t + φ)
Ricordando che cos(x) è una funzione simmetrica rispetto
all'asse
delle ordinate, e quindi cos(x) = cos(−x), è possibile sostituire
l'argomento di uno dei due addendi con il suo oposto:
(6.3) B =
1/
2
B
M cos (−ω t − φ) +
1/
2
B
M cos (ω t + φ)
Tutto ciò si ridurrebbe a una banale manipolazione algebrica se non
fosse possibile una interessante interpretazione della formula
(6.3).
Prendendo come riferimento la
direzione
di B e ponendo α = ω t + φ, la (6.3) può essere
così riscritta:
(6.4) B =
1/
2
B
M cos (−α) +
1/
2
B
M cos (α)
Se α = 0 si ha banalmente B =
1/
2
B
M +
1/
2
B
M , se α =
π/
2
otteniamo B=0.
La (6.4) ci invita allora a pensare il modulo di B come somma
delle proiezioni
di due vettori,
Bd
e
Bs,
sulla retta d'azione di B. I due vettori devono avere modulo
pari a
1/
2B
M
e in un dato istante formare angoli
−α e α con
B.
Notiamo però che:
(6.5) −α
= −ω t − φ = (−ω) t − φ
e
α = ω t + φ
Le (6.5) comportano che le proiezioni varino nel tempo come se fossero
determinate dalla
rotazione dei due vettori:
l'uno con velocità angolare ω:
Bs(ω)
in senso anti-orario, l'altro con velocità angolare −ω:
Bd(−ω)
in senso orario.
Secondo questa interpretazione, che costituisce il
teorema di
Leblanc(9),
affermiamo che
B
=
Bd
+
Bs
e cioè che
B
possa ottenersi come somma vettoriale di di due vettori rotanti:
Bd,
che
chiameremo vettore o campo destrogiro o destrorso e
Bs,
che chiameremo vettore o campo sinistrogiro o sinistrorso.
All' istante iniziale i vettori
Bd
e
Bs
formano con
B
angolì φ e − φ,
come si ricava subito dalla (6.5) ponendo t=0. Essi costituiscono gli
angoli
di fase dei due vettori rotanti.
Ovviamente quanto detto vale per qualsiasi direzione di B come
si può verificare facendo variare l'
angolo θ che
determina l'orientazione nel piano di
B.
6.1
- Il campo rotante trifase come somma di vettori controrotanti
Ognuno
dei campi magnetici alternativi prodotto dalle fasi dello
statore
può essere scomposto in due campi controrotanti
denominati per semplicità D
k e S
k (k=
1,2,3). Così, ad esempio D
1 sarà il
campo destrorso generato dalla fase 1 mentre S
1
sarà il corrispondente campo sinistrorso. La scomposizione del
campo B1
produce i due vettori D
1 (tratto
continuo) e S
1 (tratteggiato).
Osserviamo anche la scomposizione del
campo B2
e del
campo
B3.
Evidenziamo ora solamente i
sei campi controrotanti.
Qui notiamo che i
campi D sono in fase
(sono disegnati affiancati invece che sovrapposti, per renderli tutti
visibili), e la loro
somma dà il
campo risultante B che
ha evidentemente modulo 1.5 B
M (v.
2.2) e ruota alla stessa velocità
angolare dei campi D. La somma dei
campi S, che formano
una stella simmetrica di vettori è, come è noto, nulla
(8).
7 - Matematica dei
campi rotanti
Gli aspetti matematici della descrizione dei campi rotanti
sono particolarmente interessanti per le correlazioni con
altre
importanti branche della scienza, particolarmente lo studio delle onde
e delle oscillazioni.
Per questo motivo, pur avendo nei paragrafi precedenti già
affrontato alcune questioni
matematiche essenziali relative ai campi
rotanti vogliamo approfondirne qualcuna.
Riprendiamo in
esame il campo magnetico generato da un sistema di correnti trifase nel
traferro di una macchina isotropa. L'immagine è
stata depurata di alcuni elementi per concentrarci meglio su quanto
serve al nostro studio.
Ciò che osserviamo è la rappresentazione sotto forma di grafico di una
grandezza fisica. Non occorre nemmeno specificare di quale grandezza si
tratti dato che l'analisi è generale e può essere
applicata a ogni grandezza fisica che si comporti in modo
simile. Ciò riguarda in particolare i fenomeni descrivibili in
termini di onde.
Il grafico fornisce immediatamente una informazione importante: la
grandezza F, a intervalli regolari, assume gli stessi
valori. In particolare la sequenza
dei valori di F si ripete uguale a se stessa dopo un
intervallo T
s
= π (l'indice s sta per spaziale).
Se esiste una legge che metta in relazione F con x ,
F = F(x), questa allora dovrà essere periodica con periodo T
s,
F(x+ T
s) = F(x).
La forma del grafico suggerisce che una sinusoide potrebbe costituire
una prima approssimazione.
7.1
- Oscillazioni sinusoidali nello spazio e nel tempo
Il periodo naturale di funzioni come
cos(x) o
sin(x)
è 2π.
Per avere nello stesso intervallo più di una
oscillazione dobbiamo
moltiplicare
l'argomento x per un numero intero k
(10).
Se per esempio k=3,
cos(k⋅x) presenterà tre
oscillazioni complete in [0, 2π].
Sinus-Calc ©
|
Sperimentare con le funzioni sinusoidali.
Si ottengono informazioni sulle funzioni dei tasti passando
con il puntatore sopra i pulsanti.
Posto k = 2, dato
che servono due oscillazioni complete, la funzione
f(x) = A⋅cos(k⋅x) (11), come si
vede, si sovrappone abbastanza
bene alla
curva
a gradini, ma non può seguirne la
traslazione,
non avendo f(x)
alcuna esplicita dipendenza dal tempo.
Immaginiamo un
punto Q sulla sinusoide
che può essere identificato da un vettore
ψq,
lo
spostamento
(ordinata)
rispetto all'asse x. Fissata l'ascissa x
q di
Q, vedremo il punto Q
oscillare
lungo una
retta verticale.
Con quale legge avviene questa oscillazione? Ogni
punto della sinusoide oscilla con la medesima legge temporale, basta
spostare la
retta e osservare
il punto B per rendersene conto (diminuire eventualmente la
frequenza). Le oscillazioni di Q e B avvengono con la stessa frequenza
ma sono sfasate in ritardo (B a destra di Q) o in anticipo (B a
sinistra) e questo sfasamento dipende dalla posizione x.
Poniamo ad
esempio
xq
= 0. Il punto Q
oscilla
con legge
ψq =
A⋅cos(ω⋅t),
che nel grafico è rappresentata da una retta, dal momento che
ψq
non dipende da x, ma solo dal tempo:
ψq
=
ψq(t).
Tutti i punti a distanza di un periodo T
s stanno
s
ulla
stessa retta e quindi oscillano in fase. Constatiamolo
spostando la retta in
xq+ Ts.
Esercizio: spostare
la retta in x = π/2 e
individuare la legge del moto di B scrivendola in Sinus-Calc.
7.2
- Onde armoniche progressive e regressive
Immaginiamo
ora che un
punto P sulla
sinusoide mantenga sempre la stessa ordinata
ψ rispetto
all'asse x. Per mantenere costante ψ, P deve seguire
necessariamente il
moto
della sinusoide.
Se al
tempo t1
P si trova in una certa posizione x
1, al
tempo t2,
trascorsi Δt = t
2 − t
1
secondi, raggiungerà una nuova posizione x
2,
dopo
aver percorso la distanza Δx
= x
2 −
x
1. P
si muove allora con velocità v = Δx /Δt
costante da cui Δt = Δx /v, t
2
− t
1 = Δx /v e :
(7.1)
t
1
= t
2 − Δx
/v o
t
1
= t
2 − (x
2 −
x
1)
/v
che mette in relazione un istante (t
2) con
quello che lo precede (t
1).
Se P deve mantenere costante l'ordinata avremo che:
(7.2)
ψ(x
2, t
2)
= ψ(x
1, t
1)
che naturalmente vale anche per x
1
= 0, cui corrisponde un tempo t
1
= t
0.
Dalla seconda delle (7.1) abbiamo : t
0
= t
2 − (x
2 −
0)
/v, ma t
2
può essere un istante qualsiasi che indicheremo generalmente con t
(senza alcun indice) e x (senza indice) è la corrispondente ascissa:
(7.3)
t
0
= t − x
/v
Quindi:
(7.4)
ψ(x, t)
= ψ(0, t
0)
Questa
relazione dice che l'ordinata di un punto P qualsiasi della
sinusoide che al tempo t si trovi in x, può essere ottenuta conoscendo
l'ordinata di P quando, al
tempo precedente t0,
si trovava nell'origine, x =0. Resta ora da vedere
come possiamo determinare ψ(0, t
0).
Come abbiamo visto prima, ogni punto della sinusoide oscilla secondo la
legge A⋅cos(ωt).
Nel momento in cui P passa per l'origine dovrà essere ψ(0, t
0)
= A⋅cos(ωt
0), ma allora:
(7.5)
ψ(x, t)
= A⋅cos(ωt
0)
e grazie alla (7.3):
(7.6)
ψ(x, t)
= A⋅cos[ ω(t − x
/v)
]
e posto:
si ha finalmente:
(7.8)
ψ(x, t)
= A⋅cos( ωt − kx)
Questa importante equazione, di valore generale,
costituisce la legge delle cosiddette onde armoniche (cioè
sinusoidali) progressive.
Ciò che si propaga nello spazio può essere pensato come una
perturbazione rispetto allo stato 'di riposo' (o di equilibrio) di una
certa grandezza
fisica: pensiamo alle onde che si propagano nell'acqua a causa della
perturbazione generata da un sasso gettato nello stagno.
La funzione ψ(x, t) che esprime la legge secondo cui lquesta
'perturbazione' si propaga è anche detta
funzione d'onda.
La (7.8) descrive un'onda sinusoidale progressiva, che si sposta nel
verso positivo
delle x e quindi verso destra, mentre la funzione:
(7.9)
ψ(x, t)
= A⋅cos( ωt + kx)
rappresenta un'onda sinusoidale regressiva, che si sposta
verso sinistra
(x negative).
7.3
- Velocità di fase e lunghezza d'onda
La (7.7) è una relazione importante perchè definisce la velocità v
dell'onda (nel nostro caso del campo rotante):
questa velocità è la cosiddetta
velocità
di fase dell'onda ed è la velocità con cui la sinusoide
trasla senza deformazione nello spazio.
Il parametro k è il
numero
d'onde angolare e ω = 2
πf=
2π/T
è la
pulsazione in
rad/s, f la frequenza, cioè il numero di oscillazioni al secondo, T il
periodo (temporale): tempo necessario per compiere una oscillazione
completa.
Consideriamo ancora il
punto Q che all'origine
si trova sulla prima cresta dell'onda. Segnamo la posizione
con un altro punto e seguiamolo durante un'
oscillazione completa
di Q.
Compiuta una oscillazione la cresta si sarà spostata di una
lunghezza λ . Essa è chiamata lunghezza d'onda e coincide
appunto con la più piccola distanza tra punti della sinusoide aventi
stessa ordinata. Poichè la distanza λ viene coperta in un
tempo T (periodo dell'oscillazione), allora:
(7.9)
λ =
v⋅T
usando la (7.8):
e considerando che ω⋅T = 2
π:
Quest'ultima relazione dovrebbe anche chiarire il senso di chiamare k
numero d'onde. infatti dalla (7.11) abbiamo anche:
k quindi rappresenta il numero di oscillazione spaziali
complete contenute in un intervallo di lunghezza pari a 2
π (il
periodo naturale delle funzioni trigonometriche).
Nel
caso del campo rotante la (7.8) permette di spiegare immediatamente
perchè aumentando il numero di poli p (che ha il ruolo del numero
d'onde k) la velocità del campo diminuisce: ω è
fissata ed
è la
pulsazione
elettrica, quella cioè delle correnti; aumentare k
significa qu
indi
diminuire la velocità di fase v e ovviamente le lunghezza
d'onda λ.
Per quanto detto precedentemente il
passo
polare τ
coincide con λ./2 e k (o p) può essere definito anche come
τ
7.4
- Onde stazionarie e campi controrotanti
Abbiamo già
discusso il caso di un
campo
alternativo
(par. 6) quale quello prodotto da una corrente
alternata monofase. La distribuzione spaziale di un campo alternativo
in una macchina isotropa è costituita da un'onda stazionaria. Tutti i
punti, salvo i nodi (gli zeri della funzione), oscillano alla stessa
frequenza, ma non vi è alcuno spostamento
della configurazione.
Nel
paragrafo 4.6 abbiamo appreso che una
funzione periodica, come quella a gradini che rappresenta il campo
alternativo, può essere approssimata mediante la
prima armonica
H(x) = 4/π
⋅ I/2δ cos(kx).
Questa legge fornisce però una configurazione di
campo statica.
Se H(t) = A cos(kx), è necessario che A sia funzione del
tempo: A = A(t) e, in particolare, che essa sia di tipo sinusoidale.
Poniamo A(t) =
4/
π⋅
I/
2δcos(ωt)
o, posto C =
4/
π
⋅
I/
2δ, A(t) = C
cos(ωt).
Proviamo allora in
Sinus-Calc con
la funzione :
(7.14)
H(x,t) =
C⋅cos (ωt) cos(kx)
e verifichiamo che essa segue correttamente l'
oscillazione
del campo.
La
formula (7.14) è suscettibile di una interessante trasformazione
utilizzando la seconda delle formule di Werner ( inverse delle
formule trigonometriche di prostaferesi):
(7.15)
cos (α)cos(β) =
1/
2
[cos(α+β) +cos(α−β) ]
Applichiamole alla (7.14): H(x,t) =
C/
2
[cos(ωt + kx) + cos(ωt − kx)] ovvero:
(7.16)
H(x,t) =
1/2
C cos(ωt + kx) +
1/2
C cos(ωt − kx)
H(x,t) può essere visto come somma di un'onda regressiva
1/2
C cos(ωt + kx) e di un'onda progressiva
1/2
C cos(ωt − kx) di ampiezza pari alla metà
del valore massimo di H(x,t).
Questo è un risultato del tutto generale:
la somma di un' onda regressiva e di un' onda progressiva di pari frequenza dà come
risultato un' onda stazionaria.
Ricordiamo
che nel
paragrafo 6
abbiamo rappresentato un campo
alternativo mediante la somma di due vettori controrotanti di metà
ampiezza. La (7.16) ne fornisce una bella giustificazione matematica.
7.5
- Campo rotante e armoniche spaziali
Lo
studio delle armoniche del campo rotante richiede la conoscenza dello
sviluppo in serie di Fourier delle funzioni periodiche. Per
convenienza didattica abbiamo posto k=1
(macchina bipolare) e q=1 (un solo conduttore per polo e per fase).
Come già evidenziato nel
paragrafo 4.6, un'
onda rettangolare è
esprimibile come
somma
di armoniche dispari,
sinusoidi la cui frequenza spaziale è un multiplo dispari della
fondamentale A⋅sin( x). Le ampiezze delle armoniche decrescono in
ragione inversa all'ordine dell'armonica e quindi solo le prime
armoniche, come la terza:
A/
3⋅sin(3
x), la quinta:
A/
5⋅sin(5
x), la settima:
A/
7⋅sin(7
x) , ecc. sono significative. Nelle
nostre
considerazioni ci limiteremo a considerare solo la terza e la quinta
armonica.
Poichè
abbiamo a che fare con campi alternativi, le sinusoidi devono
rappresentare onde stazionarie e quindi avremo, ad esempio per la fase
1:
A⋅cos(ωt)⋅sin( x),
A/3⋅cos(ωt)⋅sin(3
x) e
A/5⋅cos(ωt)⋅sin(5
x), ....Si noti che la dipendenza temporale - cos(ωt) - è la
stessa per tutte le armoniche riferentesi alla stessa fase.
7.5.1
- Prima armonica o fondamentale
Come detto è possibile approssimare i campi rettangolari prodotti da
ciascuna fase mediante la relativa fondamentale. Detto B
j
il campo magnetico prodotto dalla fase j (j=1,2,3) e B
Mj
l'ampiezza della corrispondente sinusoide fondamentale, abbiamo:
(7.17)
B1 = BM1
cos(ωt)⋅sin(x)
fase 1
(7.18)
B2 = BM2
cos(ωt−2π/3)⋅sin(x−2π/3)
fase 2
(7.19)
B3 = BM3
cos(ωt−4π/3)⋅sin(x−4π/3)
fase 3
Sommando le
tre sinusoidi,
poste uguali a B
M le tre ampiezze:
B(x,t) = B
M
[cos(ωt)⋅sin(x)+cos(ωt−2π/3)⋅sin(x−2π/3)+cos(ωt−4π/3)⋅sin(x−4π/3)]
Applicando agli addendi la prima formula di Werner:
sin(α)cos(β) =
1/
2
[sin(α+β) +sin(α−β) ] :
cos(ωt)⋅sin(x) =
1/
2
[sin(x+ωt) +sin(x−ωt) ]
cos(ωt−2π/3)⋅sin(x−2π/3) =
1/
2
[sin(x+ωt−4π/3 ) +sin(x−ωt) ]
cos(ωt−4π/3)⋅sin(x−4π/3) =
1/
2
[sin(x+ωt−8π/3 ) +sin(x−ωt) ]
e sommando otteniamo:
(7.20)
3/
2 sin(x−ωt)
+
1/
2
[ sin(x+ωt)+sin(x+ωt−4π/3 ) +sin(x+ωt−8π/3 ) ]
La somma tra
parentesi quadre in (7.20) è nulla perchè somma di tre
sinusoidi sfasate di 2π/3
(−4π/3 equivale a 2π/3 e −8π/3 equivale a 4π/3). Quindi la
prima armonica, o fondamentale del campo è data da:
(7.21)
B(x,t)
= 3/2 BM sin(x−ωt)
che come ormai sappiamo è un
campo
progressivo.
7.5.2
- Terza
armonica
Ragioniamo ora sulle sinusoidi di 3
a armonica
rappresentate dalle funzioni:
(7.22)
B13 = BM13
cos(ωt)⋅sin(3x)
fase 1
(7.23)
B23 = BM23
cos(ωt−2π/3)⋅sin(3x−2π)
fase 2
(7.24)
B33 = BM33
cos(ωt−4π/3)⋅sin(3x−4π)
fase 3
dove il secondo indice si riferisce al numero o ordine dell' armonica.
Le tre
sinusoidi di 3a
armonica sommate danno:
B
3ar(x,t) = B
M/3
[cos(ωt)⋅sin(3x)+cos(ωt−2π/3)⋅sin(3x−2π)+cos(ωt−4π/3)⋅sin(3x−4π)]
Poichè sin(3x−2π) = sin(3x−4π) = sin(3x), raccogliendo il
fattore comune sin(3x):
(7.25)
B3ar(x,t)
= B
M/3
sin(3x)[cos(ωt) + cos(ωt−2π/3) + cos(ωt−4π/3)]
=0
Avendo anche qui una somma di sinusoidi sfasate di 2π/3.
Questo è un dato fondamentale e del tutto generale:
le
terze armoniche spaziali del campo rotante trifase, così come
tutte le armoniche multiple della terza (9, 15, ...), sono nulle.
Ai fini pratici restano quindi significative solamente la
quinta e la settima armonica
7.5.3
- Quinta
armonica
Relativamente alla 5
a armonica:
(7.26)
B15 = BM15
cos(ωt)⋅sin(5x)
fase 1
(7.27)
B25 = BM25
cos(ωt−2π/3)⋅sin(5x−10π/3)
fase 2
(7.28)
B35 = BM35
cos(ωt−4π/3)⋅sin(3x−20π/3)
fase 3
Le
sinusoidi di 5a
armonica sommate danno come risultante:
B
5ar(x,t)=B
M/5
[cos(ωt)sin(5x)+cos(ωt−2π/3)sin(5x−10π/3)+cos(ωt−4π/3)sin(5x−20π/3)]
Sempre ricorrendo alle formule di Werner: sin(α)cos(β) =
1/
2
[sin(α+β) +sin(α−β) ]
cos(ωt)⋅sin(5x) =
1/
2
[sin(5x+ωt) +sin(5x−ωt) ]
cos(ωt−2π/3)⋅sin(5x−10π/3) =
1/
2
[sin(5x+ωt−12π/3 ) +sin(5x−ωt-−8π/3) ]=
=
1/
2
[sin(5x+ωt−4π ) +sin(5x−ωt-−8π/3) ]
cos(ωt−4π/3)⋅sin(5x−20π/3) =
1/
2
[sin(5x+ωt−24π/3 ) +sin(5x−ωt−16π/3) ]=
=
1/
2
[sin(x+ωt−8π ) +sin(5x−ωt−16π/3) ]
Quindi:
cos(ωt)⋅sin(5x) =
1/
2
[sin(5x+ωt) +sin(5x−ωt) ]
cos(ωt−2π/3)⋅sin(5x−10π/3) =
1/
2
[sin(5x+ωt) +sin(5x−ωt-−8π/3) ]
cos(ωt−4π/3)⋅sin(5x−20π/3) =
1/
2
[sin(5x+ωt) +sin(5x−ωt−16π/3) ]
Sommando:
B
5ar(x,t)=
3/
2 sin(5x+ωt)
+
1/
2
[ sin(5x−ωt)+sin(5x−ωt-−8π/3 ) +sin(5x−ωt−16π/3) ]
ancora una volta in parentesi quadre abbiamo sinusoidi sfasate di
2π/3 a somma nulla.
Allora per la quinta armonica risultante:
(7.29)
B5ar(x,t)=3/2 sin(5x+ωt)
che è un
campo regressivo (si
muove in verso contrario alla fondamentale, verso sinistra).
Con
analoghi passaggi è possibile dimostrare che, ad esempio la settima
armonica è progressiva, l'undicesima regressiva, ecc.
L'ordine delle armoniche può essere ottenuto dalla formula:
(7.30) n = 6k ±
1 k= 0,1, 2, 3,.. k ∈ Z
usando il segno meno nella (7.30) , n = 6k−1, al variare di k
si hanno gli ordini: 5, 11, 17, ...
(12)
con il segno più, n = 6k+1, gli ordini: 1, 7, 13, 19
Le
armoniche di ordine 6k+1 (k= 0,1, 2, 3,..) sono progressive, ivi
compresa la fondamentale, n=1. Le armoniche di ordine 6k−1 (k=
0,1, 2, 3,..) sono invece regressive.
7.5.4
- Approssimazione
del campo a gradini con prima e quinta armonica
Ora vediamo quale sia l'aspetto del campo descritto dalla somma della
fondamentale e della 5
a armonica:
(7.31)
B(x,t) = 3/2
BM sin(x−ωt)+3/2sin(5x+ωt)
Confrontiamo questa funzione con il
campo
risultante e osserviamone l'
evoluzione.
L'approssimazione è piuttosto buona: la (7.31) è in grado di
descrivere
con soddisfacente precisione la deformazione del campo a gradini
durante il suo moto.
7.5.5
- Velocità
delle armoniche
È interessante notare che la velocità
delle armoniche spaziale è inferiore a quella della fondamentale e
precisamente è pari a 1/n della velocità di fase
della fondamentale. Ciò
vale per tutte le armoniche spaziali.
Ad esempio n
5 = n
1/5
o n
7 = n
1/7.
7.5.6
- Effetti
delle armoniche del campo rotante
Le
armoniche spaziali presenti nel campo rotante cosituiscono un disturbo
che si vorrebbe evitare. Si avrebbe un forma sinusoidale del
campo solo se la distribuzione delle correnti nello statore (i
conduttori dell'avvolgimento alloggiati nelle cave) fosse continua. Ci
si avvicina alla forma sinusoidale tanto più quanto maggiore è il
numero delle cave e conseguentemente minore la distanza tra esse
(limite ideale: numero infinito di cave e distanza nulla).
Le
armoniche spaziali del campo provocano un aumento delle perdite nel
ferro nei rotori a causa della frequenza delle correnti che vi sono
indotte.
La frequenza delle fem e delle correnti indotte dipende
dalla differenza di velocità Δn tra campo rotante e
rotore.
Se vi sono p coppie polari e la velocità è espressa in giri/s:
f
= p⋅Δn
In una macchina sincrona, ad esempio, il rotore ruota alla stessa
velocità della fondamentale del campo rotante n
1.
La prima armonica del campo non ha effetti dato che la
differenza di velocità Δn = n
1−n
1=0.
Notiamo però che la 5
a
armonica si muove in verso contrario al campo e quindi Δn = n
1+n
5
= 5n
5+n
5
= 6n
5.
La 5
a armonica è formata da 5p coppie
di poli magnetici. La frequenza delle correnti indotte dalla 5
a
armonica è allora :
f5
= 5p⋅( n
1+n
5)
= 5p⋅( 5n
5+n
5) = 5p ⋅6n
5
= 6p ⋅n
1= 6⋅
f1
La frequenza delle correnti indotte dalla 5
a
armonica spaziale è 6 volte quella fondamentale.
Lo stesso risultato si ottiene per la 7
a
armonica:
f7
= 7⋅p(n
1-n
7)
= 7p(7n
7-n
7)
= 7p ⋅6n
7= 6p⋅7n
7 = 6p ⋅n
1=
6⋅
f1
mentre per la 11
a e la 13
a armonica
si hanno frequenze pari a 12⋅
f1
I campi di 5
a e 7
a
armonica
provocano deformazioni nella caratteristica meccanica. In particolare
la deformazione indotta dalla 7
a
armonica può portare
talvolta all'
impuntamento
del motore (funzionamento a bassa
velocità e alta corrente).
7.6
- Approfondimenti
e ricerche
Consigliamo
alcune parole chiave, anche in lingua inglese, per effettuare ricerche
mirate utilizzando la casella di ricerca seguente. L'elenco non è
ovviamente esaustivo.
"Campo
magnetico rotante",
"Rotating magnetic fields", "Motore a induzione", "Induction motor",
"Motore
asincrono", "Asynchronous motor", "Alternatore", "Alternator", "Motore
sincrono", "Synchronous motor", "Armoniche", "Harmonics",
"Onde
progressive", "Progressive waves", "Onde stazionarie", "Standing
waves", ecc.
7.7
- Libri
dell'autore
Rev. 20/05/2011