Lezione   Grandezze elettriche sinusoidali

Discipline: FISICA, ELETTROTECNICA

Sandro Ronca
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Sintesi: si discute di come generare  forze elettromotrici alternate  sinusoidali e di come si possano rappresentare queste grandezze attraverso vettori rotanti di data velocità angolare e fasori.  Si definiscono le caratteristiche fondamentali : ampiezza, frequenza, pulsazione, fase, valor medio, valore efficace. Viene infine introdotto il metodo simbolico che, grazie ai numeri complessi, consente di trasformare  operazioni su sinusoidi in calcolo algebrico.  


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1 - Sinusoidi, vettori rotanti, fasori



1.1 - Generazione di una forza elettromotrice (fem) alternata sinusoidale

Carica appletPer generare una fem, secondo la legge generale dell'induzione elettromagnetica, dobbiamo produrre un moto relativo tra un campo magnetico ed un conduttore o un circuito elettrico(1). Dovendo mantenere limitate le dimensioni del sistema generatore, risulta conveniente far ruotare con velocità angolare costante (moto circolare uniforme) un conduttore dentro un campo magnetico. Diciamo anche che è del tutto indifferente se sia il conduttore a muoversi rispetto al campo magnetico, o viceversa. Ciò che importa, ai fini della generazione della fem indotta, è il moto relativo tra campo magnetico e conduttore.


1.1.1 -  La forza di Lorentz


Una carica elettrica q che si muova con velocità v entro un campo magnetico  B è soggetta ad una forza:
  
F =  q v × B

detta forza di Lorentz (2).
Se la velocità e il campo magnetico sono perpendicolari tra loro avremo  semplicemente:
 
F = qvB

altrimenti, in generale:

F = qvBsen(α)

dove α è l'angolo secondo cui il conduttore taglia le linee di campo magnetiche.
Questa forza separa le cariche elettriche.
Nel nostro esempio le cariche positive, se fossero libere di muoversi, sarebbero spinte nella direzione indicata dalla freccia durante il moto del conduttore; gli elettroni liberi vengono invece spinti verso la parte opposta.  Nella prima metà di giro si ha quindi per il conduttore un accumulo di cariche positive verso l'estremo R (punta della freccia) e un corrispondente accumulo di elettroni all'altro estremo. La situazione  si inverte nella seconda metà di giro.  
   Le cariche separate dalla forza di Lorentz danno origine ad un campo elettrico E tale che, in condizioni di equilibrio si  abbia:

 qE = −q v × B

in modulo:

qE = qvBsen(α)

con α che dipende dal tempo secondo la legge: α = π − ωt, poichè si tratta di moto circolare uniforme, ma sen(π−ωt) = sen(ωt). Quindi:

qEqvBsen(ωt)

 il che ci dice che il campo elettrico  all'interno del conduttore è un campo alternato sinusoidale:
 
E(t) = vBsen(ωt)

    Esso è conseguenza di una continua oscillazione delle cariche elettriche provocata dalla forza di Lorentz e dal moto circolare uniforme del conduttore.
Le polarità agli estremi del conduttore variano continuamente con una  frequenza  pari a quella  della sinusoide,  f = ω/ 2 π, o, se preferiamo, del moto circolare uniforme.  
In ogni istante di tempo  il campo elettrico E è costante su tutta la lunghezza l del conduttore e quindi tra gli estremi del conduttore si manifesterà una differenza di potenziale (ddp) o fem:
 
e(t) = E·l  = vBsen(ωt)l  (3)

(non confondiamo e(t), fem o ddp, con  E(t), campo elettrico). Quindi per effetto della Forza di Lorentz avremo:

e(t) = Blvsen(ωt)

che rappresenta la differenza di potenziale agli estremi del conduttore.  Questa è la cosiddetta  forza elettromotrice indotta.


1.1.2 -  Ruolo della componente trasversale della velocità

Nel nostro caso  il campo magnetico B, detto anche campo induttore,  è mantenuto costante, la lunghezza del conduttore l (lato attivo) a sua volta non varia, la velocità v è costante in modulo trattandosi di moto circolare uniforme, l'angolo:

α = ωt    con    ω = 2 π f

dove f è la frequenza di rotazione, anch'essa costante in un moto circolare uniforme.
    α
, come già detto, è l'angolo secondo cui il conduttore taglia le linee di campo magnetiche e, dal fatto che compare entro la funzione seno, comprendiamo che se il conduttore si muove parallelamante al campo non vi è alcun effetto:

e(t) = Blvsen(0) = 0

si ha invece l'effetto massimo se il conduttore taglia le linee trasversalmente:  

e(t) = Blvsen(π/2) = Blv

   
    La velocità periferica può essere scomposta secondo due direzioni: l'una parallela (o antiparallela) rispetto alle linee di campo e l'altra perpendicolare a queste ultime.

    Solamente la componente trasversale della velocità è rilevante ai fini della produzione della fem indotta; la  componente parallela della velocità invece n
on ha alcun effetto.


1.1.3 - Verso della forza elettromotrice indotta

Regola mano destra
    Il verso delle forze elettromotrici è legato  al principio di conservazione dell'energia che, nel caso dei fenomeni di  induzione elettromagnetica è espresso dalla legge di Lenz,  secondo la quale:
i fenomeni relativi all'induzione elettromagnetica avvengono con modalità tali da contrastare le cause che li hanno generati
Il segno meno che compare in alcune formulazioni della legge dell'induzione elettromagnetica ha a che fare con questa legge e quindi con i versi (una volta stabilito convenzionalmente un verso positivo) delle grandezze in gioco.
 L'animazione in lavagna mette in evidenza i versi  delle fem  che possono anche essere individuati mediante una regola empirica detta regola della mano destra (o dei generatori) (4) .


Per approfondire:

Approfondimento  Le leggi di Faraday, Lenz e i versi delle fem indotte 



1.2 - Le sinusoidi

Come è noto  una sinusoide è il grafico della funzione trigonometrica sen(α) o cos(α)(5) in funzione dell'angolo α, misurato in radianti.
Queste curve sono particolarmente importanti, in Fisica, per la descrizione dei fenomeni oscillatori, dal moto armonico alle onde. 
Un moto circolare uniforme, ad esempio, dà come proiezione una oscillazione armonica, che messa in grafico in funzione del tempo è una sinusoide.
Nella rappresentazione matematica dei fenomeni oscillatori di tipo armonico, α è funzione del tempo  secondo una relazione α = ωt , in cui  ω = 2 π f è una grandezza legata alla frequenza dell'osclllazione, detta pulsazione. D'altra parte la pulsazione ω è definita esattamente come la  velocità angolare di un moto circolare uniforme. Vedremo in seguito come sarà possibile far corrispondere alle osclillazioni  di grandezze elettriche, moti circolari uniformi di particolari entità matematiche: i vettori rotanti.
Poichè α è misurato in radianti e t in secondi, le dimensioni di ω sono: radianti/secondo [rad/s].
Una sinusoide che descriva un fenomeno oscillatorio avrà una espressione analitica generale del tipo:

y(t) = YM·sen(ωt + φ)

dove YM rappresenta l'ampiezza (l'indice M sta per Massimo. Y senza indici indica di solito il valore efficace),  
ω = 2 π f è la pulsazione, f è  la frequenza, misurata in Hz, cioè il numero di osclillazioni nell'unità di tempo e φ è la fase.
L'unità di misura di YM dipende dalla grandezza fisica che si sta rappresentando: ad esempio se y(t) è una corrente YM si misurerà in ampéré, se y(t) è una tensione YM sarà misurata in volt, e così via.
Si definisce anche il periodo T = 1/f, tempo necessario per compiere una oscillazione completa. Se rappresentiamo la sinusoide in funzione dell'angolo, il periodo è dato da

ωT = 2 π.
Il ruolo di questi parametri può essere compreso sia  interagendo con la fig.2 , sia leggendo il seguito della lezione.


1.2.1 - Valor medio di una grandezza sinusoidale

Valori medi ed efficaciDiamo ora le  importanti definizioni di valor medio e valore efficace di una sinusoide.
Tenteremo di comprendere questi concetti sia dal punto di vista matematico che fisico.
 Immaginiamo che il  grafico della  lavagna  rappresenti l'andamento di una corrente  i(t) = IM sen(ωt), alternata sinusoidale. La definizione di corrente elettrica è i = ΔQ/Δt, dove ΔQ è la quantità di carica elettrica che attraversa una sezione del conduttore nel tempo  Δt. Disegnamo sotto la curva un rettangolo di base Δt e di altezza i(t1) il valore istantaneo della corrente al tempo t1, ad esempio.  L'area di questo rettangolo, i(t)·Δt, è proprio la quantità di carica che fluirebbe nel circuito se durante questo intervallo temporale la corrente rimanesse costante al valore i(t1): ΔQ = i(t1)·Δt.

Aumentando il numero  degli intervalli e quindi dei rettangoli  sotto la prima semionda,
osserviamo che si  giunge a calcolare, con sempre migliore approssimazione, l'area delimitata dalla curva e dall'asse dei tempi.

Nella casella sottostante seleziona il numero di intervalli  con cui suddividere l'asse temporale. Osserva come si approssima l'area all'aumentare di questi.

           Intervalli:    
Se l'intervallo  Δt diventa sempre più piccolo, lo si fa tendere cioè a zero, si ha come risultato finale  il valore esatto dell'area sottesa dalla curva in un semiperiodo che, si può dimostrare, vale 2·IM/ω.

Per chi conosce il calcolo differenziale questa è la dimostrazione analitica:
Calcolo integrale idt
Nel nostro caso avendo preso  ω = 1  otterremo che l'area nel semiperiodo vale semplicemente 2·IM.
Dalle considerazioni precedenti concludiamo che quest'area rappresenta la quantità di carica elettrica che fluisce in una certa direzione.
Possiamo ripetere il discorso per il secondo semiperiodo della sinusoide e calcolarne  allo stesso modo l'area
Otteniamo però in questo caso un'area negativa. Ciò è comprensibile dal punto di vista matematico, in quanto l'altezza dei rettangoli è un segmento negativo.
Dal punto di vista fisico l'area negativa raprresenta non tanto una carica negativa, quanto piuttosto una carica che fluisce in verso opposto alla prima. Questo ci dice che se osserviamo la carica che attraversa una certa sezione del conduttore per un intero periodo registreremo un flusso totale di carica pari a zero, perchè tanta carica fluisce in una direzione, quanto altrettanta nella direzione opposta. La carica totale che ha attraversato la sezione del conduttore in un periodo di oscillazione della corrente è nulla, così come l'area totale delimitata dalla sinusoide.
Come definiamo allora il valore medio di una sinusoide?
L'interpretazione fisica ci può aiutare. Se la sinusoide rappresenta una corrente, il suo valor medio è una corrente costante nel tempo (una corrente continua) che trasporti, in un dato intervallo di tempo, la stessa quantità di carica.
Se l'intervallo di tempo considerato è il periodo T, il valor medio è chiaramente nullo.
Per questo motivo si definisce, per la sinusoide un valor medio su mezzo periodo, anzi, quando si parla di valor medio di una sinusoide si intende proprio il valore medio sul semiperiodo.
Abbiamo allora per Im, valor medio della sinusoide sul semiperiodo:
I medio
Cioè, essendo 2/π = 0,637,   Im = 0,637·IM.



1.2.2 - Valore efficace (RMS) di una grandezza sinusoidale

Immaginiamo ora di moltiplicare la sinusoide per se stessa, cioè di valutare e rappresentare la funzione  i2(t) = IM2 sen2(ωt). Ad un primo esame la curva risultante sembra essere a sua volta una sinusoide, ma ciò deve essere dimostrato. In effetti una nota relazione trigonometrica  permette di  affermare che sen2(ωt) = seno quadroe quindi:
i quadtrato
nella quale  individuiamo una componente costante nel tempo: IM2  /2;  e una cosinusoide di pulsazione 2ω e ampiezza  IM2  /2 :  −(IM2  /2) cos(2ωt)  =  (IM2  /2) cos(2ωt±π).
Si noti come abbiamo assorbito  il segno meno nella fase ±π.
Riscriviamo allora l'espressione precedente:
i quadrato
Abbiamo quindi una cosinusoide traslata della  quantità  IM2/ 2 e di frequenza doppia rispetto a i(t).
Supponiamo che la corrente i(t) attraversi una resistenza R. Possiamo allora rappresentare  la potenza p(t) = R i2(t), che ha ovviamente lo stesso andamento di i2(t) essendo R una costante (se trascuriamo la variazione dovuta alla temperatura).

Con un procedimento analogo al precedente possiamo calcolare l'area delimitata dalla curva R·i2(t). Le dimensioni di quest'area sono [Potenza x tempo] e quindi si tratta di un'energia: l'energia che, per effetto Joule viene dissipata in calore sulla resistenza R percorsa dalla corrente i(t).
Il valor medio di R·i2(t) è rappresentato dall'altezza di un rettangolo, con base il periodo, di valore pari a metà del valore massimo. Si può facilmente osservare che l'area sotto la sinusoide è uguale a quella del rettangolo se si pensa di riempire i vuoti del rettangolo con le parti di sinusoide non contenute nel rettangolo. Essendo allora l'altezza del rettangolo pari a R·(IIM2/2) e
IM2/2 = (IM/√ 2)·(IM/√ 2), definiamo il valore efficace di i(t) come : I = IM/√ 2.

Vediamo ora  una dimostrazione analitica di quanto detto.
Calcoliamo dapprima l'area sotto la curva i2(t):

area sotto i quadro

e quindi il valor medio di  quest'area, che è il valore efficace (indicato semplicemente con
I, senza nessun indice):

Valore efficace


1.3 - Rappresentazione vettoriale delle sinusoidi : i vettori rotanti

sinus1Le sinusoidi possono essere rappresentate da una particolare categoria di vettori: i vettori rotanti di data velocità angolare ω.


Nella   lavagna a sinistra spunta la casella 'proiezione di E1'.
Osserva il vettore
E1   che ruota con la stessa velocità angolare del conduttore.
La proiezione  di  E1  sull'asse delle ordinate rappresenta il valore  della tensione  E1  in un dato istante (valore istantaneo ).

Proiettando il vettore E1 sull'ordinata e mettendo in grafico questi valori in funzione degli istanti di tempo corrispondenti otteniamo proprio la sinusoide e1(t). La rappresentazione delle sinusoidi attraverso i vettori rotanti è particolarmente utille, come vedremo,  per eseguire calcoli  sulle sinusoidi stesse.
Ad esempio, dovendo sommare due sinusoidi occorrerebbe procedere al calcolo della somma per ogni punto (per ogni istante) e quindi alla rappresentazione della sinusoide risultante. Come si capisce si tratta di un procedimento molto laborioso.
Se fosse possibile  trasformare operazioni sulle sinusoidi in operazioni che sappiamo eseguire sui vettori (somma , sottrazione, prodotto scalare, prodotto e divisione per uno scalare, ecc) , la semplificazione sarebbe notevole.
In primo luogo occorre che non vi siano possibili  ambiguità nella corrispondenza sinusoide<−−>vettore. Ovvero non deve essere possibile che uno stesso vettore rappresenti più sinusoidi, o che inversamente, una sinusoide possa corrispondere a più vettori. Occorre cioè che la corrispondenza sia biunivoca.
Se facciamo corrispondere:
non vi è alcuna possibile ambiguità.



1.3.1 - Pulsazione e frequenza

    Grandezza legata alla frequenza dalla relazione ω = 2 π f. La frequenza è il numero di osclillazioni nell'unità di tempo. Si misura in Hz [hertz].
La pulsazione  della sinusoide corrisponde alla velocità angolare del vettore rotante.

Agendo sul cursore della frequenza modifica  questo parametro. Puoi constatare immediatamente che ad un aumento della frequenza corrisponde un incremento della velocità di rotazione e viceversa. In verità dal puno di vista fisico è corretto dire che: la variazione della velocità di rotazione del rotore del generatore  produce una variazione della frequenza. A rotore fermo , spuntando la 'visualizzazione permanente' delle sinusoidi,  osserva bene qual è l'effetto della variazione di frequenza sulle sinusoidi stesse. Noterai anche che al variare della frequenza il modulo del vettore e l'ampiezza della sinusoide cambiano. Perchè?



1.3.2 - Ampiezza

    E' il valore massimo che può assumere la sinusoide. Nel nostro caso IM.   
L'ampiezza  della sinusoide corrisponde al modulo del vettore rotante corrispondente.

Puoi modificare l'ampiezza ad esempio variando l'intensittà del campo magnetico induttore (click sul pulsante 'Intensità Campo B' ). Esistono altri modi per variare l'ampiezza?




1.3.3 - Fase

     Angolo che determina il valore iniziale della sinusoide.  
La fase della sinusoide corrisponde a quella del vettore rotante. 

Inserisci alcuni valori, in gradi, per l'angolo di fase φ ( -90°<φ< 90°) Osserva come varia la situazione iniziale (quella da cui si inizia a contare il tempo).

          φ° =     
Un click sul pulsante 'φ' fa comparire un cursore  con il quale puoi far variare con continuità la fase. Fai partire la rotazione e arrestala in modo da visualizzare la sinusoide. Osserva l'effetto del cambiamento di fase.
Usiamo la misura in gradi degli angoli perchè abbiamo maggiore familarità con essa. Ricordiamo tuttavia che nelle funzioni trigonometriche è corretto usare la misura in radianti

Se si sono completate le azioni suggerite si sarà sicuramente notato che la fase determina il valore istantaneo che assume  la sinusoide alla partenza, cioè all'istante iniziale.
Cosa significa?
Se inseriamo un valore di fase, ad esempio di 30°, notiamo che al tempo t=0, cioè nell'istante in cui cominciamo ad osservare il fenomeno (e facciamo partire il conteggio del tempo), la sinusoide parte  con un valore corrispondente a sen(30°)  - meglio sen(π/6) - e il conduttore si trova anch'esso ad un angolo di 30°, ωt = π/6. In altre parole, quando inizio ad osservare la sinusoide il conduttore ha già coperto un angolo di  30°.
Il vettore rotante corrispondente, a sua volta, forma un angolo di 30° con l'asse di riferimento: l'asse delle ascisse, o l'asse reale come vedremo, che spesso non viene rappresentato nei diagrammi vettoriali.
Ancora: una fase di −30°  indica che inizialmente  e(t=0) = sen(−π/6). Il conduttore deve percorrere 30° prima di ripassare per l'origine (0°) della rotazione. Il  vettore rappresentativo si trova inizialmente a  −30°.
In  generale allora una grandezza sinusoidale sarà rappresentata da:

                    e(t) = E·sen(ωt + φ)

dove E è l'ampiezza della sinusoide (ed anche il modulo del vettore rotante) e
φ è la fase.



1.3.4 - Anticipo e ritardo

    E' uso comune dire che una sinusoide è in anticipo se presenta una fase positiva, in ritardo se la fase è negativa.
Bisogna ovviamente precisare il riferimento: la sinusoide è in anticipo o in ritardo rispetto a cosa?
Il riferimento, come sembra ovvio, è una sinusoide con fase 0° o 0 radianti.
Si comprende bene questo aspetto se, visualizzata la sinusoide, spostiamo il cursore
φ a destra (anticipo) o a sinistra (ritardo). Nel primo caso la sinusoide si sposta verso sinistra (i valori istantanei anticipano quelli corrispondenti della sinusoide con φ=0). Nel secondo la sinusoide si sposta verso destra (i valori istantanei ritardano rispetto ai valori corrispondenti della sinusoide con φ=0).
    Se rappresentiamo contemporaneamente più sinusoidi, interessa anche definire uno sfasamento reciproco, cioè dire di quanto è sfasata in anticipo o in ritardo  una sinusoide (un vettore) rispetto all'altra.

Spunta la casella 'Una Spira'. Compare un secondo lato attivo  S. Per avere la massima fem prodotta il secondo lato deve essere simmetrico al primo rispetto all'asse  di rotazione .  Un click sul pulsante  'θ' visualizza il cursore θ con il quale si può modificare l'angolo di S rispetto ad R e quindi l'angolo di fase di E2 .

Detti allora φ [phi]  e  ψ [psi] gli angoli di fase rispettivamente di E1 ed E2 , avremo:

        
e1(t) = E·sen(ωt + φ)
       
e2(t) = E·sen(ωt + ψ)

Visualizza i valori, in gradi, per gli angoli di fase φ  e  ψ  .
Modifica i valori con i cursori  
φ e θ e premi il pulsante per ottenere il valore numerico delle fasi in gradi e radianti.
Ricorda:
φ  è la fase di E1   ed è anche  l'angolo che R forma inizialmente con l'origine. Una sua variazione provoca la rotazione di uno stesso angolo anche di  S.
θ è  l'angolo di S rispetto a R  (normalmente 180° in casi simili : campi induttori bipolari, cioè con una sola coppia di poli  magnetici N-S). Una variazione di  θ comporta una rotazione  del solo conduttore S

 
φ =  ° =  rad          
ψ =  ° =  rad

  
Lo sfasamento  tra le due sinusoidi  è dato dall'angolo: β = φ − ψ, se si vuole lo sfasamento di  e1(t) rispetto a   e2(t),  oppure β = ψ φ,  per lo sfasamento di  e2(t) rispetto a e1(t).
Se |β| = π/2  (90°) si dice che le sinusoidi sono in quadratura (in anticipo o in ritardo).
Ad esempio, se  φ = 30° e ψ = −60° ,  β = 90° e e1(t) è in quadratura in anticipo su  e2(t).

    Spesso in Fisica, nello studio delle oscllazioni, si preferisce rappresentare le sinusoidi mediante la funzione coseno,  e1(t) = EM cos(ωt+ ψ).  In tal caso è sufficiente considerare la proiezione del vettore sull'ascissa, anzichè sull'ordinata e dare alla fase ψ  il valore ψ =  φ − π/2  (EM= Blv).
   

1.4 -  I fasori

Abbiamo  visto come sia possibile rappresentare sinusoidi tramite vettori rotanti. Anzi abbiamo  potuto stabilire che sotto certe condizioni esiste una corrispondenza biunivoca tra questi vettori e le sinusoidi.
Una condizione fondamentale per questo tipo di rappresentazione è l'isofrequenzialità: delle sinusoidi e corrispondenti vettori rotanti. Questo ci libera dalla dipendenza temporale, poichè tutti i vettori ruotano con la stessa velocità, e quindi la grandezza è perfettamente determinata dal vettore all'istante iniziale.  Possiamo allora creare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle sinusoidi isofrequenziali  e i fasori , cioè la rappresentazione del vettore rotante al'iistante iniziale. Un fasore è quindi caratterizzato solamente da ampiezza (modulo) e fase.
Un fasore Y  può essere rappresentato in forma polare (forma di Steinmetz): Y = Y ∠α° dove Y  è il  modulo del vettore e α è la fase espressa in gradi. Il segno ∠ indica l'angolo.
Normalmente il modulo del fasore è dato dal valore efficace della grandezza sinusoidale :
Y = YM/ √2.

Visualizza il fasore di E1 .  Nota che il modulo è ridotto del fattore  √2 rispetto al  modulo di E1 .
Attribuisci  un valore di fase diverso da zero in gradi :

φ° =     
Visualizza ora il fasore di E2 . Anche qui puoi inserire il valore di un angolo di fase. 

ψ° =  
 
 

Riassumendo:
i fasori sono vettori fissi. Essi conservano l'informazione dello stato iniziale. Poichè le grandezze sono isofrequenziali esse evolveranno nel tempo tutte allo stesso modo, quindi ai fini dello studio del sistema è importante solo lo stato iniziale. Tuttavia non tutti i sistemi sono descrivibili con i fasori isofrequenziali. Solamente i sistemi lineari soddisfano i requisiti necessari per questo tipo di rappresentazione.
I fasori hanno un ruolo importante nel calcolo dei circuiti in corrente alternata mediante il metodo simbolico e i numeri complessi.


1.5 - Sinusoidi e numeri complessi

L'analisi dei circuiti in corrente alternata basata su operazioni tra sinusoidi non è praticamente proponibile. Fortunatamente abbiamo già evidenziato la corrispondenza tra sinusoidi e fasori, il che ci consente di tradurre operazioni matematiche tra sinusoidi in operazioni matematiche tra fasori. L'algebrizzazione di queste operazioni comporta un ulteriore passaggio che riguarda l'introduzione del calcolo complesso.
vettori e numeri complessi
Figura 2 - Vettori e numeri complessi
Abbiamo detto della rappresentazione vettoriale dei numeri complessi (1.2.2), giungendo alla conclusione che ogni numero complesso può essere rappresentato sul piano di Argand-Gauss mediante un vettore. Il fasore, come si è detto, rappresenta un vettore rotante congelato nel suo stato iniziale, e generalmente con modulo pari al valore efficace della grandezza. Il fasore è caratterizzato da ampiezza e fase, cui corrispondono il modulo √a2+b2  e l'argomento β  del numero complesso (figura 2).
Una sinusoide y(t) di pulsazione ω potrà allora essere rappresentata  dal numero complesso a+jb se: y(t)  = √a2+b2 sin(ωt + β), quindi abbiamo la corrispondenza:

a+jb  ↔  √a2+b2 sin(ωt + β)     
oppure, in forma polare:

a2+b2 e ↔  √a2+b2 sin(ωt + β)

L' argomento β si ricava dal rapporto tra parte immaginaria b e parte reale a del numero complesso, essendo  β = arctan(b/a).
Queste corrispondenze stanno alla base del metodo simbolico, o analisi fasoriale, per il calcolo dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale.



2 - Le basi del  metodo simbolico


Nell'ipotesi che il lettore abbia dimestichezza con i numeri complessi e con la formula di Eulero diamo qui le basi  matematiche del metodo simbolico per l'analisi dei circuiti in corrente alternata sinusoidale.
Il metodo simbolico consiste appunto nella rappresentazione di grandezze sinusoidali mediante fasori e numeri complessi.

Scriviamo la seguente funzione complessa(6):

(2.1)            Y(t) = A[cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)]

La parte reale e la parte immaginaria sono rispettivamente:

                Re[Y(t)] = A cos(ωt + φ)        Im[Y(t)] = A sin(ωt + φ)

Entrambe possono descrivere  una oscillazione armonica.
Normalmente si considera che la parte reale di (2.1) rappresenti il fenomeno fisico, mentre non si attribuisce significato fisico alla parte immaginaria.
Quindi se  (2.1) rappresentasse la forma complessa di una corrente, la grandezza fisica intensità di corrente sarebbe data da:

                    i(t) = Re[Y(t)] = A cos(ωt + φ)

Tuttavia nello studio elementare dei circuiti in alternata risulta più immediato utilizzare la funzione seno, che equivale ad  attribuire significato fisico alla parte immaginaria di Y(t):

                   i(t) =  A sin(ωt + φ)

principalmente perchè, per ottenere i valori  istantanei della grandezza sinusoidale, risulta più comodo proiettare i vettori rotanti sull'ordinata.
La sostanza comunque non cambia dato che le funzioni coseno e seno si ottengono una dall'altra grazie ad uno sfasamento di π/2:

                    cos(ωt + φ − π/2) = sin(ωt + φ)


Utilizzando la formula di Eulero, la (2.1) può essere riscritta così:

(2.2)            Y(t) = A ej(ωt + φ)

e per  note proprietà dell'esponenziale:

(2.3)            Y(t) = A⋅e ⋅ejωt  = A⋅[cos(φ) + jsin(φ)]⋅[cos(ωt) + jsin(ωt)]

con la quale  abbiamo separato la dipendenza dal tempo ejωt dalla parte fasoriale: A⋅e.
Diciamo allora :

(2.4)             Y(t) = Y ⋅ejωt

in cui:

(2.5)               Y = A⋅e  = A⋅[cos(φ) + jsin(φ)]

rappresenta il fasore.

Da (2.3) è anche evidente che:
  
(2.6)            Y(0) = A⋅e ⋅ejω0 = A⋅e ⋅1 =  A⋅e = Y

che dimostra quanto dicevamo prima: il fasore rappresenta lo stato iniziale del vettore rotante (a meno della eventuale  trasformazione dell'ampiezza in valore efficace).
Poichè la dipendenza dal tempo ejωt è comune a tutte le grandezze (le sinusoidi hanno tutte la stessa frequenza) le relazioni reciproche  tra di esse coinvolgono solamente i fasori. Questo permette di algebrizzare tutte le operazioni attraverso l'uso dei numeri complessi.
La somma e la differenza di sinusoidi si traducono immediatamente nella somma o differenza di fasori e quindi di numeri complessi.
Qualche considerazione in più merita il prodotto di  sinusoidi .

Il metodo simbolico comporta la rappresentazione mediante numeri complessi di:
  1. sinusoidi vere e proprie;  
  2. operatori che trasformano sinusoidi in altre  di diverso tipo e caratteristiche
Il primo punto è già stato sviluppato.
Se moltiplichiamo il fasore (2.5) per un numero complesso Z=a+jb = z ejβ 

(2.7)               ZY = Z ejβ A⋅e  = Z ej(β+φ) = Z A⋅[cos(φ+β) + jsin(φ+β)]

otteniamo un nuovo fasore di modulo ZA, ruotato di β radianti rispetto a Y.
In questo senso consideriamo Z  un operatore che modifica modulo e fase del fasore.
Se Z ha anche dimensioni fisiche, il risultato della sua applicazione su Y sarà anche una modifica del tipo di grandezza fisica. Ad esempio se Y fosse una corrente e Z fosse una grandezza con dimensione l'ohm, ZY sarebbe una grandezza misurata in volt, cioè una tensione.


3 Libri, ebook





Rev. 06/2015










(1)  In realtà campi elettrici e quindi differenze di potenziale possono essere create da variazioni nel tempo di campi magnetici, indipendentemente dalla presenza o meno di conduttori e/o  circuiti elettrici. 

(2) Il prodotto tra vettori rappresentato dall' operatore  ×   (in Europa si usa anche il simbolo  ) è il cosiddetto prodotto vettoriale: esso è un vettore perpendicolare al piano individuato dagli operandi v e B, di modulo vBsen(α), dove  α è l'angolo tra i vettori v e B

(3) E·l  è il cossiddetto prodotto scalare tra vettori (pensando l come vettore spostamento: E·l = E·l·cos(β) , dove β è l'angolo eventualmente formato dal vettore campo e dal vettore spostamento. 

(4) Pollice, indice e medio della mano destra sono disposti perpendicolarmente  tra loro (a formare una terna destrorsa). Il pollice indica il verso della velocità, l'indice quello del campo magnetico (Nord-Sud), il medio dà il verso della forza elettromotrice indotta

(5)
In tal caso, a volte detta cosinusoide. Ricordiamo che la funzione cos(
α) = sen(α+π/2) e quindi il grafico di cos(α) è, a tutti gli effetti, una sinusoide.

(6) Usiamo il carattere in grassetto Y per rappresentare i numeri complessi oltre che i vettori. In alternativa può essere usato il carattere sopralineato Y. L'unità immaginaria i è qui chiamata j come è d'uso in Elettrotecnica ed Elettronica.



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