Legge di Faraday-Lenz: versi fem [1024x768]

Le leggi di Faraday, Lenz e i versi delle fem indotte

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1.1 - La legge di Faraday - Lenz o dell'Induzione elettromagnetica

Per procedere con questo argomento carica, se non già presente, la lavagna iniziale.

L'espressione matematica della legge di Faraday (Michael Faraday, 1831) è :
e(t) = −ΔΦ(t)/Δt o, più precisamente dal punto di vista dell'analisi matematica,
e(t) = −dΦ(t)/dt: la fem indotta è data dalla derivata rispetto al tempo del flusso. Essa riassume le evidenze sperimentali studiate per primo da Faraday affermando che:

" Una forza elettromotrice indotta è prodotta in un circuito elettrico, ogniqualvolta un flusso magnetico con esso (circuito) concatenato varia nel tempo e l'effetto è tanto maggiore quanto più rapida è la variazione".
il segno meno che compare nella legge è correlato alla legge di Lenz, secondo la quale:

"I fenomeni legati all'induzione elettromagnetica avvengono con modalità tali da contrastare le cause che li hanno generati".

1.2 - Verso positivo della forza elettromotrice indotta

Il segno meno dice che la fem indotta è opposta alla variazione di flusso. Questa affermazione necessita però di un chiarimento. Cosa vuol dire esattamente che la fem è opposta alla variazione di flusso?
La fem (come qualunque differenza di potenziale) ha un verso, pur non essendo un vettore. Tale verso è determinato - istante per istante - dalla polarità, cioè dalla posizione reciproca delle cariche positive e negative in un certo tratto del circuito che stiamo esaminando ⁽¹⁾ . Normalmente indichiamo graficamente la fem con una freccia che punta verso la distribuzione delle cariche positive così come abbiamo fatto nella nostra animazione.
Se esiste un circuito chiuso la fem fa sì che si formi una corrente elettrica che convenzionalmente⁽²⁾ segue il verso Legge di Faraday e Lenz

imposto dalla fem. Questa corrente crea un campo magnetico e quindi un flusso concatenato con il circuito, che chiamiamo flusso indotto. Il flusso che subisce la variazione nel tempo e che compare nella legge di Faraday viene chiamato invece flusso induttore.
Il flusso indotto deve avere un verso tale da opporsi alla variazione del flusso induttore. Ad esempio: se il flusso induttore sta aumentando ΔΦ = Φ_finale − Φ_iniziale >0, la fem sarà negativa. Cosa vuol dire?
Dobbiamo stabilire un verso della fem che consideriamo positivo.
E' positivo il verso di una fem che agendo in un circuito chiuso farebbe circolare una corrente che produca un campo magnetico concorde con il campo induttore.
Osserviamo la situazione rappresentata nella figura: il verso delle fem sui due lati attivi farebbe circolare una corrente (in senso orario). Questa corrente produce un campo magnetico diretto secondo il vettore applicato al centro della superficie (regola di Maxwell). Il campo magnetico così creato ha almeno una componente diretta secondo il verso del campo induttore (N-S). In questo caso il verso della fem è considerato positivo sia su R che su S.

1.3 - La legge di Lenz e i versi delle fem indotte

Come abbiamo visto i versi possono sempre essere determinati attraverso la forza di Lorentz F = q v ∧ B, unica possibilità quando, come nell'esempio di conduttore singolo , non è possibile individuare un circuito elettrico ed una superficie da esso delimitata.
Se invece esiste un circuito che delimiti con il suo perimetro una superficie, possiamo applicare direttamente la legge di Faraday e(t) = −ΔΦ(t)/Δt e cercare di dedurre i versi ragionando su di essa e la legge di Lenz.

Spuntando la casella 'Una spira' nella lavagna interattiva, e quindi su 'Superficie', possiamo visualizzare i due lati attivi tra loro connessi che individuano una spira e la superficie da essi delimitata. Il circuito può essere completato dagli anelli e spazzole con cui si collegano utilizzatori esterni al generatore.
Il cronometro stilizzato in alto rappresenta lo scorrere del tempo. Possiamo anche evidenziare una linea temporale che permette di 'far scorrere' manualmente il tempo (conviene cliccare sul punto t e poi usare i tasti cursore per produrre la variazione).

Il flusso magnetico che attraversa la superficie varia secondo la legge Φ(t) = B·S·cos(ωt). Se r è il raggio del cilindro che rappresenta il rotore avremo:
Φ(t) = B·l·2r·cos(ωt). Infatti se la superficie è inclinata rispetto alla direzione delle linee di campo, per calcolare il flusso è necessario proiettare la superficie su di un piano normale alle linee di campo. La superficie è data da S = 2r ·l , la superficie proiettata, come si vede dalla figura, è data da: S' = 2r ·l·cos(ωt).

In figura 2 trascina il punto R per vedere come varia S'.
Il vettore normale alla superficie (colore giallo-arancione) ha modulo uguale all'area della superficie stessa ed è un modo per rappresentare vettorialmente la superficie (che ha una orientazione nello spazio) Il verso è quello individuato dalla regola di Maxwell (vite destrorsa) una volta assegnato un verso di percorrenza della linea perimetrale.

Infatti il flusso dipende dalla quantità di linee di campo che attraversano effettivamente la superficie. Si può constatare che la quantità delle linee che attraversa la superficie inclinata è la stessa che attraversa la superficie normale.

Vediamo ora di applicare la legge di Faraday per determinare l'espressione della fem indotta e i versi.
Stabilito un istante iniziale t, ed uno finale
t + Δt , in cui Δt è un intervallo di tempo molto piccolo, avremo :

Sulla base di quanto precedentemente discusso, scriviamo i valori del flusso agli istanti iniziale e finale:

Φ_fin = Φ(t + Δt) = B·l·2r·cos(ωt + ω Δt)
Φ_iniz = Φ(t) = B·l·2r·cos(ωt)

Calcoliamo quindi la variazione di flusso:

ΔΦ = 2B·l·r [ cos(ωt + ω Δt) − cos(ωt)]

Applichiamo ora l'dentità trigonometrica per il coseno di un angolo somma:

cos(ωt + ω Δt) = cos(ωt) cos(ω Δt) − sen(ωt) sen(ω Δt)

Ora se immaginiamo che Δt sia un intervallo di tempo piccolissimo (tendente a zero) , anche il prodotto ω Δt sarà molto piccolo.
Sappiamo però che cos(angolo piccolo) ─> 1 e sen(angolo piccolo) ─> angolo
Quindi:
per Δt ─> 0 avremo: cos(ω Δt) ~ 1 e sen(ω Δt) ~ ω Δt

Verifichiamo quanto appena detto. Attribuisci all'angolo ωΔt valori in radianti progressivamente più piccoli e verifica che effettivamente il coseno tende al valore 1 mentre il seno tende al valore dell'angolo (usa il punto invece della virgola decimale).
Questa proprietà può essere anche ricavata da considerazioni sulle definizioni di seno e coseno Lavorando con l'applet qui a lato (trascina il punto A) sei in grado di dare una dimostrazione?
.

La differenza in parentesi quadre della precedente formula per ΔΦ diviene:

cos(ωt + ωΔt) − cos(ωt ) = cos(ωt)cos(ω Δt)−sen(ωt)sen(ω Δt)−cos(ωt) =
= cos(ωt)·1 − sen(ωt) ω Δt − cos(ωt ) = − sen(ωt) ωΔt

Quindi per la variazione di flusso avremo:

ΔΦ = 2B·l·r [ − sen(ωt) ω Δt] ,

che conviene riordinare in questo modo:

ΔΦ = − 2B·l·ω·r sen(ωt)·Δt

ma ω·r = v è la velocità periferica dei lati attivi, dunque:

ΔΦ = − 2B·l·v ·sen(ωt)·Δt

applichiamo ora la legge di Faraday:

e(t) =		ΔΦ(t)		−2B·l·v ·sen(ωt)·Δt	= 2B·l·v ·sen(ωt)·
	−		= −
		Δt		Δt

Notiamo intanto che riotteniamo la formula B·l·v ·sen(ωt) moltiplicata però per il fattore 2. Ciò è giustificato dal fatto che nella spira sono due i lati attivi su cui si forma una fem indotta. Dal punto di vista vettoriale le due fem sono in opposizione di fase, ma dal punto di vista circuitale esse sono concordi ed equivalenti a due generatori in serie.
Ciò porta al raddoppio della fem indotta.

1.3.1 - Versi delle fem indotte

Vediamo ora come la legge di Faraday-Lenz consenta anche di determinare i versi delle fem indotte.
A tale proposito consideriamo il primo quarto di giro ( 0° < ωt < 90°). Si può notare facilmente (vedi anche figura 2) che la proiezione normale della superficie diminuisce, ciò significa che il flusso induttore concatenato sta diminuendo. Il flusso indotto si deve opporre alla variazione del flusso induttore. Ciò vuol dire che il campo indotto dovrà avere una componente concorde con il campo induttore. I versi sono quelli presenti nella figura 2. In base alla convenzione sul verso positivo che abbiamo precedentemente esposto, i versi delle fem coincidono con quelli positivi.
Consideriamo ora il secondo quarto di giro ( 90° < ωt < 180°). Il flusso concatenato sta aumentando (aumenta la superficie normale), ma ilverso delle fem nei lati attivi non cambia. In questo modo infatti il campo indotto presenta una componente contraria al verso del campo induttore e così si oppone all'aumento di flusso.

Nell'applet di figura 2 puoi vedere il verso del campo indotto. Attenzione. Questo campo esiste solo se nella spira può circolare una corrente che abbia i versi indicati sui lati attivi. Quindi la spira deve formare un circuito chiuso con l'esterno.
Procedi nell'analisi dei versi fino a completare un giro ( 2° e 3° quarto)

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⁽¹⁾ Tuttavia, come già detto, non è essenziale la presenza di circuiti elettrici o conduttori per la formazione di campi elettrici e differenze di potenziale conseguenti.

⁽²⁾ Ricordiamo che nei conduttori i portatori mobili di carica sono gli elettroni. La corrente convenzionale è definita come quella corrente prodotta da corrispondenti cariche positive che si muovano con velocità di deriva uguale e contraria a quella degli elettroni che costituiscono la corrente reale. La corrente convenzionale è quindi opposta a quella reale