LezioneAutoinduzione  in regime sinusoidale

Discipline: FISICA, ELETTROTECNICA


Sandro Ronca



Sintesi: L' autoinduzione originata da correnti variabili sinusoidalmente. Scambi energetici e potenza reattiva.

Prerequisiti: Grandezze elettriche alternate sinusoidali campo magnetico, induzione elettromagnetica.

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1 - Autoflusso

Carica appletIIl fenomeno dell'autoinduzione avviene  quando un induttore (avvolgimento, bobina, solenoide in particolare, ma in maggiore o minor misura qualsiasi circuito elettrico) è percorso da una corrente variabile nel tempo.
In tal caso  l'induttore produce un flusso magnetico Φ(t) che può essere determinato attraverso la legge di Hopkinson, se è nota la riluttanza magnetica R del circuito magnetico. Supposto che l'induttore sia composto da N spire percorse dalla corrente i(t), avremo:


(1)    flusso generato
Φ(t)  = N   i(t)

R

Questo flusso si concatena con le N spire dell'induttore stesso, dando origine ad un flusso concatenato  Φc detto autoflusso:

(2)   autoflusso
Φc(t) =  N⋅ Φ(t) = N2   i(t)

R

che possiamo scrivere:

(3)                Φc(t)  =  L⋅i(t)          L =  N2/           

dove L è il coefficiente di autoinduzione, misurato in henry (H).
Per quanto riguarda le dimensioni di L:

[L] = [Flusso]/[corrente] = [Tensione x tempo]/[corrente] = V⋅s/A = Ω⋅s =H

per semplicità nel seguito scriveremo l'autoflusso senza il pedice c:

(4)             Φ(t)  =  L⋅i(t) 

ma dovrà essere sempre tenuta presente la sostanziale differenza con il flusso generato (1).



2 - Autoinduzione e energia del campo magnetico

Secondo la legge di Faraday-Lenz ogni flusso variabile nel tempo concatenato con un circuito elettrico dà luogo ad una forza elettromotrice (fem) indotta:

(5)
e(t) = − dΦ(t)

dt

e considerando L costante (cosa che non accade per i circuiti ferromagnetici), dalla (4) abbiamo:

(6)
e(t) = − L d i(t)

dt

oppure usando le differenze finite:

(5')
e(t) = − ΔΦ(t)

Δt

(6')
e(t) = − L Δi(t)

Δt

 
La fem autoindotta (6) o (6') può essere considerata una conseguenza dei processi di accumulo e restituzione dell'energia magnetica.
In effetti il campo magnetico è una forma di energia.  Per formare il campo dell'induttore è necessario che venga compiuto un lavoro.  Il generatore può eseguire un lavoro sul sistema induttore solo se la corrente i(t)  viene contrastata  da una differenza di potenziale o forza contro-elettromotrice (fcem)(1).
Poichè il lavoro ΔL viene eseguito in un certo intervallo di  tempo Δt, vi è in gioco una potenza P= ΔL / Δt. Per i sistemi elettrici la potenza, come è noto, è calcolata moltiplicando la corrente per  la differenza di potenziale che rende possibile la circolazione della corrente stessa:

(7)                 p(t) = v(t)⋅i(t)

Nel caso di un induttore ideale la potenza (7) è totalmente impiegata per la costruzione del campo magnetico. Durante questa fase, istante per istante, la v(t) deve opporsi alla fcem e(t):

(8)                v(t) = −e(t) = L di(t)/dt

(8')                v(t) = −e(t) = L Δi(t)/Δt

dunque:

(9)                     p(t) = L⋅i(t)⋅di(t)/dt

che possiamo scrivere come energia dW:

(10)                    dW= p(t)⋅dt = L⋅i(t)⋅di(t)

(10')                    ΔW= p(t)⋅Δt = L⋅i(t)⋅Δi(t)

integrando:

(11)                   W(t) = p(t)⋅dt = L⋅i(t)⋅di(t) = 1/2⋅L⋅i2(t)

a meno di una costante,  o nell'ipotesi che i(0)=0
oppure, con le differenze finite, sommando:

(11')                  W(t) = ∑p(t)⋅Δt = L⋅∑i(t)⋅Δi(t) = 1/2⋅L⋅i2(t)

anche qui supponendo i(0)=0.


 
3 - Autoinduzione in regime sinusoidale

Carica appletSupponiamo ora che l'induttore sia attraversato da una corrente alternata sinusoidale:


(12)                i(t) = IM sin(ωt)

prodotta da un generatore di corrente.
Osservando la lavagna si nota che nel 1° quarto di periodo la fem e(t) si oppone alla corrente. In effetti in questa fase la corrente fornisce l'energia necessaria alla formazione del campo magnetico e deve quindi vincere la fem e(t), altrimenti non potrebbe eseguire il lavoro necessario. Notiamo anche che e(t) ha un verso tale da mettere in circolazione una ipotetica corrente iind (2) che produrrebbe un flusso magnetico che contrasta il flusso prodotto da i(t), coerentemente con quanto espresso  dalla legge di Lenz:

"i fenomeni di induzione elettromagnetica avvengono sempre con modalità tali da contrastare la causa che li ha generati".

In luogo del generatore di corrente, supponiamo che il sistema sia alimentato da un generatore di tensione v(t). In questa situazione la corrente è spinta dal generatore il quale fornisce anche la potenza e l'energia necessaria. L'induttore si comporta da utilizzatore, cioè assorbe potenza, il che è testimoniato dal fatto che il polo positivo istantaneo è sul terminale di ingresso della corrente. La differenza di potenziale indotta e(t) è, a tutti gli effetti, una forza contro-elettromotrice.

Nel 2° quarto di periodo  e(t) è concorde con la corrente i(t) che sta diminuendo. Questo significa che diminuisce anche l'intensità del campo magnetico e quindi l'entità dell'energia accumulata. L'energia liberata non può però svanire nel nulla: essa viene restituita al generatore (3). La tensione v(t) impressa dal generatore  è opposta alla corrente il che energeticamente significa che è il generatore ad assorbire potenza elettrica, comportandosi piuttosto da utilizzatore. La funzione di generatore è assunta dall'induttore e la e(t) diviene forza elettromotrice. Come in tutti i generatori la polarità positiva istantanea è sul terminale di uscita della corrente.

A versi invertiti, nel 3° quarto di periodo si riproduce la situazione del primo quarto. Il generatore di tensione v(t) spinge la corrente (è concorde con essa) fornendo l'energia per il campo magnetico, che avrà ora verso opposto rispetto a prima. La fcem e(t) si oppone e l'induttore funge da utilizzatore.

Nel  4° quarto di periodo,  è riproposta, sempre a versi invertiti, la situazione sel 2° quarto. L'induttore assume il ruolo di generatore, il generatore elettrico  assorbe potenza grazie al fatto che v(t) si oppone alla corrente, l'energia passa dal campo magnetico dell'induttore al generatore elettrico.


4 - Fem autoindotta e tensione impressa

Se la corrente i(t) è sinusoidale : i(t) = IM sin(ωt),  la e(t) data dalla (6) si ottiene derivando rispetto al tempo,  come stabilito dalla (6):

(13)
e(t) = − L d i(t)  = −ωL IM cos(ωt) = ωL IM [−cos(ωt)]

dt

essendo  dsin(ωt)/dt  = ωcos(ωt).
Mentre l'andamento di i(t) è di tipo sin(ωt), quello di e(t) è di tipo:

             −cos(ωt) = sin(ωt−π/2)

il che significa che e(t) è in ritardo di un quarto di periodo rispetto a i(t): come si dice, e(t) è in quadratura in ritardo rispetto a i(t).
La tensione impressa dal generatore è sempre opposta alla fem indotta:
      
(14)          v(t) = −e(t) = ωL IM cos(ωt)  

ovvero:

(15)            v(t) = ωL IM sin(ωt+π/2)

la tensione impressa v(t) è in quadratura in anticipo sulla corrente i(t).


5 - Potenza reattiva

Se ricordiamo che p(t) = v(t)⋅i(t) dalle formule (12) e  (15):

(16)        p(t) = ωL IM cos(ωt)⋅IM sin(ωt) = ωL IM2 cos(ωt)⋅sin(ωt)


da cui vediamo che la potenza dipende da cos(ωt)⋅sin(ωt) = 1/2 sin(2ωt)
e quindi:

(17)       p(t) =  1/2 ωL IM2sin(2ωt)

ha andamento sinusoidale, con frequenza doppia rispetto a tensione e corrente e ampiezza 1/2 ωL IM2.  Nel 1° quarto di periodo abbiamo una potenza positiva, che interpretiamo come  flusso di energia dal generatore elettrico all'utilizzatore.
Nel 2° quarto di periodo la potenza è negativa: l'energia accumulata dall'induttore ritorna al generatore.
Nel 3° quarto di periodo la potenza torna ad essere positiva, infatti la corrente trasporta l'energia per costruire il campo magnetico con direzione spaziale opposta  rispetto ai periodi precedenti e infine nel 4° quarto di periodo il campo progressivamente si annulla, come nel secondo quarto. L'energia viene restituita al generatore e la potenza è  negativa.
Questa potenza che viene alternativamente scambiata tra generatore e induttore è detta potenza reattiva.  Questa potenza con la relativa energia è indispensabile per il funzionamento del sistema (costruzione del campo magnetico), ma è interna ad esso . In altre parole non è possibile sfruttare questa potenza per far eseguire un lavoro al sistema.


6 - Versi delle fem autoindotte e convenzione del punto

La questione dei versi da attribuire alle forze elettromotrici autoindotte  dà spesso luogo a confusione e difficoltà di comprensione, dato che vengono adottate diverse e non sempre giustificate convenzioni.
Spesso si vede attribuire alla fem autoindotta lo stesso verso della corrente, il che porta erroneamente ad interpretare la fem del generatore e quella autoindotta come concordi dal punto di vista della corrente nel circuito.
Da quanto esposto nei precedenti paragrafi, dovrebbe essere chiaro che l'induttore si comporta alternativamente sia da generatore che da utilizzatore e che la fem autoindotta è sempre opposta alla fem impressa dal generatore di tensione.
Allora la scelta più  logica dei versi appare quella che è stata adottata nella lavagna. Essa è quella che rispetta  gli eventi che si succedono e i relativi scambi energetici.
Abbiamo adottato anche la convenzione del punto per individuare un verso positivo della corrente e delle grandezze ad essa associate (per esempio il flusso magnetico). Consideriamo positiva una corrente che entri nell'induttore dal terminale contrassegnato dal punto  e una fem impressa che spinga la corrente in tal senso (precisiamo  che e(t) non è una fem impressa).

 
Rev. 06/2015




(1)  Questo perchè i poli elettrici istantanei producono un campo elettrico E orientato, all' interno del dispositivo, dal polo positivo a quello negativo. Quando questo campo è concorde con la corrente il dipositivo assorbe energia e quindi potenza elettrica. Se il campo è discorde (come avviene all'interno di un generatore) è il dispositivo a cedere energia e quindi eroga potenza elettrica a spese dell'energia accumulata.  

(2)È opportuno ribadire che iind non è realmente presente nel circuito. Essa ha solo lo scopo di mettere in evidenza l'effetto di opposizione alle variazioni di i(t) e conseguentemente del flusso Φ(t).  

(3) Ciò non sarebbe comprensibile se supponessimo il sistema alimentato solamente da un generatore ideale di corrente. Nella realtà esistono solo generatori di tensione. Il generatore di corrente è un'astrazione ideale utile solamente per certe rappresentazioni. Il generatore di corrente può essere approssimato ricorrendo a opportune configurazioni circuitali alla cui base vi sono però sempre generatori di tensione, dato che ogni movimento di cariche è indotto da un campo elettrico e quindi da una differenza di potenziale . 


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